¿Cómo puedo mostrar los componentes de algo transforma como un tensor (0,2)?

Question

Supongamos que $B_i$ son los componentes de un vector covariante. Mostrar que $\frac{\partial B_j}{\partial x^k} - \frac{\partial B_k}{\partial x^j}$ son los componentes de un tensor (0,2).

Sé que los componentes de una transformación de tensores (0,2) como esto:

$\frac{\partial \bar{B_j}}{\partial \bar{x^k}} -\frac{\partial \bar{Bk}}{\partial \bar{x^j}} = \sum{\alpha,\beta=1}^n \left ( \frac{\partial B{\alpha}}{\partial x^{\beta}} - \frac{\partial B{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\right)\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial \bar{x}^j} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial \bar{x}^k}$

Así $$\bar{B}j = \sum{\alpha=1}^n B_{\alpha} \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial\bar{x}^j}

y $$\bar{B}k = \sum{\beta=1}^n B_{\beta} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial\bar{x}^k}

¿Alguien por favor me puede ayudar resolver esta cuestión? Estoy preparando para mi examen y mi profesor dijo que esta pregunta es importante conocer y entender.

Answer 1

Ya estás en la mitad del camino. El siguiente paso es diferenciar $\bar{B}_j = B_{\alpha} \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial\bar{x}^j}$ $\bar{B}_k = B_{\beta} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial\bar{x}^k}$

$$\frac{\partial\bar{B}_j}{\partial \bar{x}^k } = \frac{\partial B_{\alpha}}{\partial \bar{x}^k } \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial\bar{x}^j}+B_{\alpha} \frac{\partial^2 x^{\alpha}}{\partial\bar{x}^k\partial\bar{x}^j} = \frac{\partial B_{\alpha}}{\partial x^{\gamma}} \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial\bar{x}^k} \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial\bar{x}^j}+B_{\alpha} \frac{\partial^2 x^{\alpha}}{\partial\bar{x}^k\partial\bar{x}^j}$$

y

$$\frac{\partial\bar{B}_k}{\partial \bar{x}^j } = \frac{\partial B_{\beta}}{\partial \bar{x}^j } \frac{\partial x^{\beta}}{\partial\bar{x}^k}+B_{\beta} \frac{\partial^2 x^{\beta}}{\partial\bar{x}^j\partial\bar{x}^k} = \frac{\partial B_{\beta}}{\partial x^{\gamma}} \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial\bar{x}^j} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial\bar{x}^k}+B_{\beta} \frac{\partial^2 x^{\beta}}{\partial\bar{x}^j\partial\bar{x}^k}$$

cambio ficticio índices de primera ecuación $\gamma \rightarrow \beta$ (para el primer término) y de la segunda ecuación de $\gamma \rightarrow \alpha$ (para el primer término) y $\beta \rightarrow \alpha$ (para el segundo término) y se restan ellos, usted tendrá el resultado deseado. Tenga en cuenta que los últimos términos se cancelan uno al otro porque siempre asumimos que la transformación es suave, de modo que la mezcla de las derivadas parciales es commute.