De configuración. Deje $\mathcal{X}$ ser una Piedra espacio con subyacente espacio de $X$ $\mathbb{T}$ un endofunctor en $\mathsf{Set}$, la categoría de conjuntos y funciones. Supongamos $\mathbb{T}$ envía finito de conjuntos finitos conjuntos (es decir, se restringe a $\mathsf{FinSet}$). Deje $\{ q_i : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}_i \mid i \in I \}$ ser la colección de finito de coeficientes de $\mathcal{X}$. Una topología en un conjunto finito es una Piedra de la topología de la fib es discreto, por lo que podemos ver $\mathbb{T}$ como endofunctor en $\mathsf{FinStone}$. Deje $\mathcal{Z}$ ser el límite del diagrama completo (*) $\mathbb{T}\mathcal{Y}_i$ (donde $i$ rangos de $I$)$\mathsf{Stone}$, la categoría de Piedra espacios y continua de los mapas.
Vistos como conjuntos, tenemos para cada una de las $\mathcal{Y}_i$ un mapa de $\mathbb{T}q_i : \mathbb{T}X \to \mathbb{T}\mathcal{Y}_i$. Ahora mire doblemente, en la categoría de $\mathsf{BA}$ de álgebra de boole y homomorphisms. A continuación, $\operatorname{Clop}\mathcal{Z}$ es el colimit sobre el diagrama de doble a (*). Para cada una de las $i$ tenemos un álgebra Booleana homomorphism $(\mathbb{T}q_i)^{-1} : \operatorname{Clop}(\mathbb{T}\mathcal{Y}_i) \to \mathbb{PT}X$, donde el último es el powerset álgebra Booleana. Claramente, si $g : \operatorname{Clop}(\mathbb{T}\mathcal{Y}_i) \to \operatorname{Clop}(\mathbb{T}\mathcal{Y}_j)$ es un homomorphism, tenemos $(\mathbb{T}q_i)^{-1} = (\mathbb{T}q_j)^{-1} \circ g$. Así que por la definición de un colimit, existe un único homomorphism $f : \operatorname{Clop}\mathcal{Z} \to \mathbb{PT}X$.
Objetivo. Quiero demostrar que el álgebra Booleana $\operatorname{Clop}(\mathcal{Z})$ es isomorfo a la sub-álgebra Booleana de $\mathbb{PT}X$ generado por $(\mathbb{T}q_i)^{-1}(a)$ donde$i \in I$$a \subseteq \operatorname{Clop}(\mathbb{T}\mathcal{Y}_i)$.
Creo que los siguientes sufijos:
Pregunta. Es $f$ inyectiva?
