¿Por qué las representaciones de dimensión infinita del grupo de Poincaré no están clasificadas por *dos* semi-enteros?

Question

Se sabe que para especificar una representación irreducible de dimensión finita del grupo de Lorentz, se necesitan especificar dos semienteros, $(j_1,j_2)$. Por ejemplo, los espinores de Weyl zurdos y diestros son representaciones no equivalentes, a pesar de tener ambos espín medio. Está la representación de 4-vector $(1/2,1/2)$, y la representación de 2-forma $(0,1).

En QFT, al clasificar los posibles tipos de partículas que pueden existir, buscamos representaciones irreducibles unitarias (de dimensión infinita) del grupo de Poincaré. Aquí, necesitamos especificar una masa $m$ y un único 'espín' $j$. Al fijar la masa a un número dado, entonces, parece que hay menos tipos de partículas permitidas de lo que sugerirían las representaciones de dimensión finita. Por ejemplo, solo hay un tipo de partícula con espín medio, $j = 1/2. ¿Se trata de un fermión de Weyl zurdos o diestros, o algo más?

Más en general, ¿cómo deberíamos interpretar los 'tipos de partículas' que nos dan las representaciones de dimensión infinita del grupo de Poincaré en términos de los 'tipos de partículas' que nos dan las representaciones de dimensión finita del grupo de Lorentz?

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Mis pensamientos: se puede mostrar que los casimires utilizados en la clasificación de las representaciones del grupo de Lorentz no conmutan con el Casimir $P^2$ de Poincaré. Esto podría sugerir que al ampliar nuestro grupo de Lorentz a Poincaré, obtenemos nuevas transformaciones que pueden mezclar estados dentro de las antiguas representaciones, por lo que las nuevas representaciones irreducibles también deben ampliarse. Pero no veo cómo una traslación (seguida de cualquier combinación de boost o rotaciones) podría convertir un espinor de Weyl izquierdo en uno diestro.

Answer 1

Creo que la mayor parte de la confusión se debe a mezclar en qué suelen actuar típicamente los grupos de Lorentz y Poincaré. Cuando hablamos de irrps de Lorentz, generalmente nos referimos a irrps no unitarias de dimensión finita en el espacio de campos, mientras que cuando hablamos de irrps de Poincaré, normalmente nos referimos a irrps unitarias de dimensión infinita en el espacio de Hilbert.

Comenzando desde el grupo de Poincaré actuando en el espacio de Hilbert, podemos restringirnos al grupo de Lorentz (también actuando en el espacio de Hilbert). Como señalaste, al restringir el grupo genéricamente las irrps se descomponen, y esto es exactamente lo que sucede, porque hemos perdido la capacidad de hacer traslaciones; obtenemos diferentes irrps que corresponden aproximadamente a donde podría estar la partícula. Pero estos no están en absoluto relacionados con los irrps de Lorentz de los campos; en su lugar son irrps infinitas dimensionales del grupo de Lorentz. Puedes leer sobre esas cosas horribles aquí y personalmente aprendí sobre estas cosas del excelente libro de teoría de grupos de Wu-Ki Tung.

El procedimiento para pasar de campos a partículas es:

• definir un campo clásico que transforme bajo una representación no unitaria de dimensión finita del grupo de Lorentz
• realizar la cuantización canónica de la manera habitual, asociando cada modo con un operador de creación en un espacio de Hilbert
• la acción de Poincaré en los campos induce una acción de Poincaré en el espacio de Hilbert; identificamos partículas con irrps de Poincaré en ese espacio de Hilbert

En particular, nada se 'pierde', cada campo produce partículas como esperaríamos. Por ejemplo:

• el campo de espinor de Dirac produce dos tipos de partículas, cada una con $j = 1/2$ y $m > 0$.
• ambos campos de espinor de Weyl producen dos tipos de partículas, con $h = \pm 1/2$ y $m = 0$, donde $h$ es la helicidad que etiqueta las representaciones sin masa del grupo de Poincaré.
• un campo vectorial real masivo produce partículas con $j = 1$ y $j = 0$, con $m > 0$. También podemos imponer restricciones en el campo para eliminar la partícula $j = 0$.
• un campo vectorial real sin masa produce partículas con $h = \pm 1$ y $m = 0$.

Observa que una irr de Lorentz en los campos, el espinor de Weyl, produce una representación de Poincaré de partículas descomponible, a pesar de que el grupo de Poincaré es más grande. Físicamente, esto se debe a que tenemos una partícula y una antipartícula distintas y el campo puede generar ambas.