Un problema en Artin del Álgebra, 2ª ed. (16.9.17) se lee:
Determinar los números reales $\alpha$ de grado 4 $\mathbb{Q}$ que se puede construir con regla y compás, en términos de los grupos de Galois de sus polinomios irreducibles.
Al principio pensé que esto era relativamente simple ejercicio. En el caso de que el grupo de Galois es $C_2$, $V_4$, o $D_4$, tiene subgrupos de orden $2^k$ por cada $2^k$, dividiendo su orden, por lo que el pleno de la división de campo puede ser construido por las sucesivas extensiones cuadráticas a partir de $\mathbb{Q}$. Sin embargo, al intentar demostrar que las raíces no edificable cuando el grupo de Galois es $A_4$ o $S_4$, me encontré con algunas dificultades.
Teorema de 15.5.6 en el libro de los estados,
Deje $p$ ser un edificable punto. Para algunos entero $n$, hay una cadena de campos $$ \mathbb{Q} = F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \ldots \subset F_n = K,$$ tal que
- $K$ es un subcampo del campo de los números reales;
- las coordenadas de $p$$K$;
- para cada una de las $i = 0, \ldots, n - 1$, el grado $[F_{i+1} : F_i]$ es igual a 2.
Por lo tanto, el grado $[K : \mathbb{Q}]$ es una potencia de 2.
Este teorema no parecen ser lo suficientemente potente como para establecer la deseada nonconstructibility resultado, por ejemplo, una raíz con grupo de Galois $A_4$. Sí, sabemos que $\mathbb{Q}(\alpha)$ en ese caso no tiene subcampo que es una ecuación cuadrática de la extensión de $\mathbb{Q}$. Sin embargo, este junto con el Teorema de 15.5.6 no es suficiente, porque el teorema sólo afirma que no es cierto campo $K$ en la parte superior de la torre, y $K$ no es necesariamente $\mathbb{Q}(\alpha)$. En ese sentido, el teorema se deja abierta la posibilidad de que exista un edificable campo $K$ que es alguna extensión de $\mathbb{Q}(\alpha)$, y obviamente $K$ contiene algunos cuadrática extensión de $F_1$$\mathbb{Q}$, pero $F_1$ no necesita ser un subcampo de la $\mathbb{Q}(\alpha)$.
Si teníamos una versión más fuerte del Teorema de 15.5.6, que se puede leer como sigue:
Deje $\alpha$ ser un edificable número, y supongamos $\alpha \in K \subset \mathbb{R}$ donde $K$ es un campo. Entonces existe un entero $n$ y una torre de extensiones cuadráticas $$ \mathbb{Q} = F_0 \subset F_1 \subset \ldots \subset F_n$$ tal que $p \in F_n \subset K$.
entonces, parece que el Ejercicio 16.9.17 sería fácil de resolver, pero esto más fuertes resultado no parece trivial para probar.
