Notación matemática : hay un estándar claro?

Question

Tomemos como un ejemplo de la trigonometría

A menudo vemos a $ \theta = \sin^{-1}(x) $ se utiliza para decir ¿cuál es el ángulo de $ \theta$ de manera tal que su seno es $x$. Pero por similares argumentos ¿por qué no $\sin^{-1}(x) $ media $\frac{1}{\sin(x)}$ al $\sin^2(x)$ es usualmente traducido como $(\sin(x))^2$ $\sin(\sin(x))$

Usted puede haber notado que yo no estoy totalmente seguro en estas conversaciones, pero siento que debemos tener claridad. No estoy convencido de que nosotros hacemos.

Los pensamientos?

Answer 1

Lo que se observa aquí es un choque o una sobrecarga de notación. Hay sólo un número finito de símbolos que tenemos que trabajar, así que es común que esto ocurra. En este ejemplo concreto, hemos $$ x^{-1} = \frac{1}{x} $$ para los números reales, y $$ f^{-1} = \text{the inverse of $f$} $$ para las funciones de $f$. Si usted no está demasiado familiarizado con la notación de funciones (el último de la notación), no es razonable asumir que $$ \sin^{-1}(x) = \frac{1}{\sin(x)}. $$ Esta es no es la notación estándar, y usted se confunde fácilmente si se escribe. Por otro lado, es común dejar de los paréntesis cuando se trabaja con funciones trigonométricas, así que lo obvio "correcta" notación para $\frac{1}{\sin(x)}$ (debido a $\csc(x)$ es tonto) también corre el riesgo de ambigüedad: es $$ \sin x^{-1} = \frac{1}{\sin x} \qquad\text{o}\qquad \sin x^{-1} = \sin\left( \frac{1}{x} \right)? $$ En otras palabras, hay tres conceptos diferentes que son todos muy similares notación. Debido a esto, elegimos las convenciones de anotación, entonces intento de aplicar de forma coherente. En este caso:

1. Es probablemente mejor usar $\arcsin$ por la inversa de la función seno. Esto es muy común en la notación, y poco probable que se confunda con otra cosa.
2. Es probablemente la mejor manera de utilizar paréntesis todo el tiempo, y siempre encapsular el argumento de $\sin$ (o cualquier otra función). Por lo tanto $ \sin(x)$ is superior to $\sin x$.
3. Es probablemente el mejor para escribir $\frac{1}{x}$ (o $\frac{1}{\sin(x)}$, o mejor aún en este caso, $\csc(x)$), y a no utilizar la notación exponencial.

Con respecto a $\sin^2(x)$, estoy de acuerdo en que este es también ambigua notación. Porque yo trabajo con los sistemas de función iterada todo el día, automáticamente pienso de $f^n$ significado de la $n$-composición del pliegue de $f$ con la misma, es decir,$f\circ f\circ \dotsb \circ f$. Dicho esto, es muy común para interpretar $\sin^2(x) = [\sin(x)]^2$. De nuevo, yo recomendaría

1. No escriba $\sin^2(x)$ a la media de $[\sin(x)]^2$—uso más paréntesis, y hacer las cosas lo más clara posible.
2. No escriba $\sin^2 = \sin\circ\sin$ sin primero muy claramente lo que indica que esto es a lo que te refieres.

Estos son no las recomendaciones universales, y no seguir con ellos no es probable que cause problemas mayores (desde el contexto que normalmente deja en claro lo que está pasando), pero no es razonable sugerir que nos esforzamos para clara, sin ambigüedades, la notación. La buena comunicación es la meta, después de todo. :)

Answer 2

Desde $\theta= \sin^{-1}x$ $\theta$ es el ángulo cuyo seno es $x,$ la notación $\sin^2\theta$ debe decir $\sin(\sin\theta).$, Pero por desgracia se ha convertido en el estándar para el uso que la notación a decir $(\sin\theta)^2.$ Esto es desafortunado notación, pero lamentablemente es estándar.

Answer 3

Esta no es la primera vez que este (tipo de) pregunta ha sido formulada, y no será la última. Voy a tratar de hacer que la respuesta más general, porque el espíritu de la pregunta realmente es: ¿por qué hay tanta variación con la notación matemática?

Al mejor de mi conocimiento, no hay ningún único, global, universal estándar para la notación matemática o incluso definiciones.

La inconsistencia con razones trigonométricas que usted ha observado está relacionado a un problema más grande con la notación funcional en general. $f^{-1}$ generalmente representa la función inversa. Pero, ¿qué $f^2$ representan? La mayoría de los llevaría a la media de la composición de la $f(f)$, pero eso es exactamente lo que ha causado que su confusión cuando se aplica a la trig relación de notación. El asunto es que, cuando se mira a otras funciones como el logaritmo, yo no escribiría $\log^2(x)$ sin explicando lo que usted piensa que significa. Si te refieres a $(\log x)^2$, sólo quiero escribir de esa manera.

El mismo tipo de inconsistencia es frecuente en las definiciones así. Es $0$ un número natural? Algunas definiciones de decir que sí, algunos dirían que no, que es por qué necesitamos específicas de notación como $\mathbb{Z^+}$ a significar solamente el positivo enteros, un conjunto que muchos (pero no todos) consideraría más parsimonioso se representa como $\mathbb{N}$. Pero evitando la ambigüedad es más importante que tratar de ser frugal con la notación.

Parte de la confusión es histórico. En el no tan lejano pasado, $1$ era considerado un número primo. Usted estaría en apuros para encontrar cualquier literatura moderna o de texto que utiliza esa definición.

Otra cosa que yo (personalmente) tomar el problema con la sobrecarga de notación haciendo el mismo símbolo hacer el doble o el triple deber. Como $\pi$. Que generalmente representa el conocido trascendental constante, pero en la teoría de los números, se puede representar el primer función de recuento $\pi(x)$. Es una especie de "usted sabe cuando usted ve que" la situación. Satisfactoria? Depende de que tan fácil se está satisfecho, supongo.

De todos modos, he aquí otro ejemplo de una pregunta similar (rant?) acerca de la notación. Por favor lea las respuestas, son muy esclarecedoras.

Answer 4

Cuando usted ve $$f^{-1}$$ significa que la función inversa.

Así $$f^{-1}(x)$$ means the value of the inverse function at $x$

Cuando usted vea $$ f(x)^{-1}$$ it means the inverse of the number $f(x)$ that is $1/f(x)$

Para evitar la confusión a veces la gente usa $$\arcsin(x)$$ for $$\sin^{-1}(x)$$

Podemos aprender estos trucos como nos acostumbramos a ellos por medio de la práctica, pero no hay lugar para la confusión al principio.