Demostrar que $E(e^{X}) < \frac{1}{2}(e^{-K} + e^{K})$ si $E(X)=0$ $|X|<K$ casi seguramente

Question

Vi esta pregunta en un amigo del conjunto de problemas (lo digo en serio, no es MI tarea) y seguía pensando en ella, aunque sin éxito.

Deje $X$ ser una variable aleatoria tal que $ -K < X < K$ $ K >0$. Also, let $E(X) = 0$. Now, prove that $E(e^{X}) < \frac{1}{2} e^{-K} + e^{K})$.

Estoy tratando de utilizar la desigualdad de Jensen y así sucesivamente, pero he hecho ningún progreso. También he probado a trastear con algunas inteligente plazas, pero no podía resolver de esta manera. Alguna idea?

Answer 1

Si $X$ sólo toma valores en $[-K,K]$ entonces es cierto, para todos los convexo $\phi$,$\phi(X) \leqslant \frac{(\phi(K)-\phi(-K))}{2K}X+\frac{\phi(-K)+\phi(K)}{2}$. Esto es debido a que la mano derecha es la ecuación de la línea de $(-K,\phi(-K))$ $(K,\phi(K))$

Establecimiento $\phi=\exp$, y teniendo expectativas en la desigualdad anterior da $\mathbb{E}(e^X)\leqslant \frac{1}{2}(e^{K}+e^{-K})$

Para obtener la desigualdad estricta, aviso que si $\phi$ es estrictamente convexa y $X$ toma valores en $(-K,K)$ de todas las desigualdades por encima de ser estricta. (Estricta de las desigualdades estancia estricto tomando las expectativas porque positivos variables tienen expectativas positivas)

La desigualdad de Jensen la prueba de un gran parecido con el argumento anterior, pero le da un minorant de $\phi(X)$ por una línea, en lugar de un majorant como es el caso aquí.

Answer 2

Aquí un poco de desorden manera de resolverlo. Primero vamos a comprobar que cuando se $X$ está dado por la elección de un elemento de la lista $(x_1,\dots,x_n)$ uniformemente al azar. La lista puede tener repite. El resultado general sigue a continuación, ya que cualquier variable aleatoria puede ser aproximada por una discreta uno.

El discreto problema es equivalente al siguiente problema de maximización:

Maximizar: $E[e^X]=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n e^{x_i}$
Sujeto a: $\sum\limits_{i=1}^n x_i=0$, y para todos los $i$, $-K\le x_i\le K$.

Aviso que sustituyó a la condición de $-K<X<K$$-K\le X\le K$, de modo que la región es compacto, asegurando el máximo es alcanzado.

Yo reclamo que $(x_1,\dots,x_n)$ no obtiene el máximo, siempre y cuando no existen dos números de $x_i$ $x_j$ que están en el interior de la $(-K,K)$. Esto es debido a que dado dos números, aumentando el mayor de estos por $\epsilon$ y la disminución de los más pequeños por $\epsilon$ preservará $\sum\limits_{i=1}^n x_i$, pero va a aumentar el $\frac1n\sum\limits_{i=1}^n e^{x_i}$ (probar esto!).

Por lo tanto, si $(x_1,\dots,x_n)$ alcanza el máximo, entonces todos, pero en la mayoría de los una de las variables son iguales a $\pm K$. Es fácil ver que la única manera de satisfacer esta es disponer de un número igual de variables igual a$+K$$-K$, con el resto de la variable (si cualquier) igualando a cero. Esto se traduce en un valor máximo de en la mayoría de las $\frac1n(\lfloor n/2\rfloor e^{-K}+\lfloor n/2\rfloor e^K)\le \frac12(e^K+e^{-K})$.