Encontrar el límite de secuencia $\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+\cdots+\frac{2n-1}{2^{n}}$ sin el uso de derivados y etc.

Question

Necesito encontrar el límite de la secuencia $$ \lim_{n \to \infty }\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+\cdots+\frac{2n-1}{2^{n}}\right) $$ Traté de solucionarlo y se detuvo aquí $$ f(n+1) = \frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+\cdots+\frac{2n-1}{2^{n}}+\frac{2n+1}{2^{n+1}} $$ $$ 2f(n+1) = 1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2^{2}}+\cdots+\frac{2n-1}{2^{n-1}}+\frac{2n+1}{2^{n}} $$ $$ 2f(n+1) -f(n) = 1+ \left(1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\right) = 1 + g(n) $$ No puedo encontrar el límite de $g$, pero ¿qué hacer con las otras partes?

Answer 1

El uso de la identidad $$ \frac{2k+1}{2^{k-1}}-\frac{2k+3}{2^k}=\frac{2k-1}{2^k}\tag1 $$ la suma puede ser escrito como una telescópico de la serie $$ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty\frac{2k-1}{2^k} &=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{2k+1}{2^{k-1}}-\frac{2k+3}{2^k}\right)\\ &=3\tag2 \end{align} $$

Answer 2

Vamos a suponer que el límite existe. Si decimos que el límite de $s$

$s = \sum_1^{\infty}\frac{2n-1}{2^n}$

$\Rightarrow 2s = 1 + \sum_1^{\infty}\frac{2n+1}{2^n} = 1 + \sum_1^{\infty}\frac{2n-1}{2^n} + \sum_1^{\infty}\frac{2}{2^n}$

$\Rightarrow 2s = 1 + s + \sum_0^{\infty}\frac{1}{2^n}$

$\Rightarrow 2s = 1 + s + 2$

$\Rightarrow s=3$

Así que si el límite existe, entonces debe ser 3.

Ahora sólo tiene que demostrar que el límite existe, es decir, la serie converge.

Answer 3

$$\lim{_{n \to \infty }}(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+...+\frac{2n-1}{2^{n}})=$$

$$ \sum _1^{\infty} \frac {2n-1}{2^n}=$$

$$2\sum _1^{\infty} \frac {n}{2^n} -\sum _1^{\infty} \frac {1}{2^n}=$$

$$2\sum _1^{\infty} \frac {n}{2^n} -1$$

Tenga en cuenta que $$\sum _1^{\infty} \frac {n}{2^n}=(1/2+1/4+1/4 +1/8+1/8+1/8 +....)=$$

$$(1/2+1/4 +1/8 +....) +(1/4 +1/8 +1/16+...)+(1/8+1/16 +1/32 +....)+...=$$

$$1+1/2+1/4+1/8+....=2$$

Así tenemos a $$\lim{_{n \to \infty }}(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+...+\frac{2n-1}{2^{n}})= 3$$

Answer 4

El uso de la sumación por partes. Dada una secuencia $f(n)$ definir $(\Delta f)(n)=f(n+1)-f(n)$ y la nota que $$ \sum_{n=a}^b(\Delta f)(n)=f(b+1)-f(a). $$ Más dadas dos secuencias de $f(n)$$g(n)$, ten en cuenta que $$ (\Delta fg)(n)=f(n+1)\Delta g(n)+g(n)\Delta f(n) $$ de dónde $$ \sum_{n=a}^bg(n)\Delta f(n)=[f(b+1)g(b+1)-g(a)f(a)]-\sum_{n=a}^bf(n+1)\Delta g(n)\etiqueta{1} $$ Deje $h(n)=-2/2^n$, y tenga en cuenta que $\Delta h(n)=2^{-n}$. (1) $$ \sum_{n=1}^k\frac{2n-1}{2^n}=[(2k+1)(-2^{-k})-1(-1)]+2\sum_{k=1}^n2^{-k}.\la etiqueta{2} $$ Deje $k\to \infty$ (2) y el uso de la fórmula de una serie geométrica para deducir que $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{2n-1}{2^n}=1+2=3 $$