TQFTs 3D construidos a partir de categorías tensoriales modular en general no dan una TQFT 3d honesto, en cambio tienen una "anomalía". Mi vaga comprensión de conversaciones de Kevin Walker y de desnatar Freed-Hopkins-Lurie-Teleman es que lo que realmente está sucediendo es que es un 4d TQFT que es casi aburrido en la parte 4d y eso es lo que significa la "anomalía". ¿Alguien sabe cómo hacer esto más preciso?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
John Topley
Puntos
58789
Mi propia comprensión de las anomalías en TQFTs:
En los casos que he visto, "anomalía" en general se refiere a una central de extensiones de línea y de paquetes. Los físicos han pensado durante mucho tiempo de estas cuestiones de un modo más explícito, en términos de las integrales para calcular los diagramas de Feynman. En muchas de las teorías cuánticas del campo, el diagrama de Feynman de las integrales no convergen, aunque el campo cuántico teorías son saludables solo de contar los grados de los términos en el Lagrangiano (renormalizable). Un moderno explicación de esto (que no sé de primera mano, pero han dicho) es que la convergencia no viene de intentar calcular algo que no es un número, sino un valor en un no-trivial de la línea de paquete. "Anomalía cancelación" significa que usted encuentra dos cosas a calcular que ambos tienen anomalías, pero cuyo producto no se porque la línea de paquete es trivial.
Un 3D TQFT es, entre otras cosas, un functor de la categoría de cobordisms entre las superficies a la categoría de espacios vectoriales. Esta categoría central de extensiones, en el mismo sentido que tienen los grupos central de extensiones. Universal de la central de extensión de más de ℚ es dada por tensoring el torsor de "framings" con ℚ y es unidimensional. (Aquí "torsor" sólo significa un espacio afín a más de un grupo. Framings hasta homotopy son un torsor sobre el grupo abelian de la homotopy espacio de $[M,SO(3)]$.) Así que, si quieres una extensión central de cobordisms antes de hacer su functor, desea encuadres de las 3-variedades. El único punto de 2-framings es cancelar el 2-torsión parte de la torsor de "framings" por la mano; siempre me ha parecido mejor que me tensor con ℚ lugar.
Esta extensión central aparece de forma natural en el Chern-Simons QFT, una.k.un., Reshetikhin-Turaev invariantes de las 3-variedades. Y el Turaev-Viro invariante es un famoso ejemplo de anomalía de la cancelación. Si la entrada de la categoría a la que invariante es modular (sólo necesita ser esférica fusión de la categoría en general), entonces es dos factores de Reshetikhin-Turaev con fase opuesta.
Usted puede encontrar algunos de los detalles de una versión preliminar de mi TQFT notas en mi página web. He aquí un resumen.
Dada una n-categoría con una fuerte dualidad (con lo que quiero decir, más o menos, fundamental si $n=2$ y una de las dimensiones superiores de la versión de fundamental para $n > 2$; esto es más fuerte que lo que Lurie significa por una n-categoría "con duales"), hay un procedimiento estándar para la construcción de un n+1-dimensional TQFT. Este procedimiento trabaja gratis para el 0-por la n-dimensional de las piezas de la (extended) n+1-dimensional TQFT. En estas dimensiones, no necesitamos supuestos adicionales sobre la n-gato, y no hay necesidad de elegir una descomposición de los colectores, por lo que no hay topología combinatoria se mueve a comprobar. La construcción es manifiestamente invariante.
Para la construcción de la parte superior, n+1-dimensional parte de la TQFT, tenemos que hacer algo de la finitud de hipótesis sobre la n-categoría. (Esto corresponde a la parte superior-dimensional parte de lo que Lurie et al decir "totalmente dualizable".) Si el n-categoría satisface estas hipótesis, a continuación, obtenemos, para cada identificador de la descomposición de la n+1-colector, un estado de suma escriba la expresión para la ruta integral de la n+1-colector. No es difícil mostrar que este estado de la suma es invariante bajo la manija de diapositivas y manejar la cancelación, por lo que tenemos una bien definida invariante de n+1-colectores que interactúa con el resto de la TQFT (a través de encolado de fórmulas) en la forma correcta.
(Pequeño tecnicismo: la ruta integral de la construcción depende de la elección de un elemento en el espacio de Hilbert de la n-esfera, correspondiente a la ruta integral de la n+1-bola. Multiplicando esta elección por $\lambda$ cambios de la ruta integral por $\lambda^\chi$ donde $\chi$ es la característica de Euler de las n+1-colector.)
Un modular tensor de categoría 3 categoría con una fuerte dualidad y la clase derecha de la finitud de las propiedades, por lo que podemos aplicar la construcción para obtener un 3+1 dimensiones TQFT.
En la dimensión 3 el espacio vectorial construimos es una antigua madeja módulo: combinaciones lineales finitas de la cinta de opciones gráficas en M^3 modulo las relaciones locales. (En realidad, el doble de este espacio vectorial.) Si M es cerrado en 1-dimensional. Más en general, si M tiene un límite, entonces tiene la misma dimensión que la universidad de Witten-Reshetikhin-Turaev espacio vectorial asociado a la frontera de M.
En la dimensión 4, el tipo de estado de suma obtenemos depende del tipo de la manija de la descomposición. Para un general de la manija de la descomposición obtenemos la Grúa-Yetter estado de la suma. Por 2 mangos conectado a una bola de 4 a lo largo de una trama de enlace de L obtenemos la Reshetikhin-Turaev cirugía fórmula para L. 4-dimensional barrio de un 2-complejo obtenemos el Turaev "sombra" del estado de suma. Para un cerrado 4-colector nos encontramos con que el camino de la integral es igual a $a^\chi b^\sigma$ donde $\chi$ es la característica de Euler y $\sigma$ es la firma de la 4-colector. Eligiendo $\lambda$ por encima adecuadamente podemos hacer a=1. b está relacionado con la central de carga de la MTC (o el valor de la RT de la cirugía de la fórmula en el encuadre +-1 unknot). Para una 4-variedad con frontera nos encontramos con que el estado suma calcula la universidad de Witten-Reshetikhin-Turaev invariantes de los límites de la 4-colector.
En la dimensión 2, la 1-categoría asociada a una superficie cerrada es una matriz completa de la categoría; es decir, Morita trivial. Para una superficie con el límite k círculos de la categoría es Morita equivalente a k copias de la MTC considera como un 1-categoría.
En todos los casos anteriores, nos encontramos con que el TQFT invariantes de la $Z(X)$, donde dim(X) = 2 o 3 o 4, depende fuertemente en el límite de $X$, pero sólo débilmente (es decir, sólo hasta bordism) en el interior de $X$. Por lo que podemos definir un nuevo 2+1 dimensiones TQFT $Z'$ a través de la fórmula
$$Z'(Y) := Z(\mathrm{boundary}^{-1}(Y))$$
Este TQFT tiene una anomalía, ya que tenemos que mejorar Y con suficiente estructura para escoger el inverso del límite, hasta bordism.
CheGueVerra
Puntos
3580
Aquí está mi comprensión de la física del punto de vista.
Una teoría cuántica de campos es anómala si se carece de un UV de finalización. En otras palabras, no hay entramado de la teoría en la misma dimensión, cuya continuidad límite produce la teoría del campo cuántico.
Sin embargo, incluso una anómala de la teoría cuántica de campos pueden ser producidos en el límite de una topológico estado ordenado en celosía en una dimensión superior. En otras palabras, para una determinada teoría cuántica de campos, siempre hay un aumento de la celosía de la teoría en una dimensión superior, cuya continuidad límite en el límite, se produce la teoría cuántica de campos. Así
los tipos de anomalías en las teorías cuánticas del campo = tipos de topológica de los pedidos en una dimensión superior
Esto conduce a una clasificación de gravitional anomalías en términos de topológica de los pedidos en una dimensión superior.
También
los tipos de anomalías en topológica de las teorías cuánticas del campo （es decir saltado al campo cuántico thoeries）= tipos de topológico pedidos con gappable límite en una dimensión superior y medio (es decir topológica de las teorías cuánticas del campo en una dimensión superior que han estado suma realización ）
Tengo dos documentos de debate sobre los puntos en los detalles:
arXiv:1303.1803 La clasificación de medidor de anomalías a través del SUBCOMITÉ de pedidos y la clasificación de las anomalías gravitacionales a través de topológico de órdenes (para indicador de la anomalía y de grupo cohomology) Xiao-Gang Wen
arXiv:1405.5858 Trenzado de fusión de categorías, anomalías gravitacionales, y el marco matemático para topológico órdenes en cualquiera de las dimensiones (por anomalía gravitacional y n-categoría, así como la noción de tipo H y L-tipo de anomalías) Liang Kong, Xiao-Gang Wen
Kapustin también tiene un papel
arXiv:1404.3230 Anomalías de simetrías discretas en varias dimensiones y grupo cohomology (para medidor de anomalías) Anton Kapustin, Ryan Thorngren
Niyaz
Puntos
16307
Hay varios tipos diferentes de TQFTs que puede ser definido. Por ejemplo, hay orientado a las teorías, no orientada teorías, enmarcadas en las teorías, y muchos más. El 3D TQFTs procedentes de Modular Tensor de Categorías no definir orientado TQFTs, por lo tanto tienen una "anomalía". Una manera de hacer esto es preciso darse cuenta de que ellos no le dan un TQFT, simplemente no se basa en la orientada a los colectores, pero colectores equipado con una estructura adicional.
Esta estructura va bajo diversos nombres, por ejemplo, "p1-estructura", "aparejo" (hay una versión menos conocida como "2-framing"). Hay varias formas de definir esta estructura. Algunos de estos métodos no producen estructuras equivalentes, y esto depende de su MTC como para que uno va a trabajar (aunque no es una opción universal).
Una versión común de esta estructura en una 3-variedad es una clase de equivalencia de opciones 4-variedades que obligados. La relación de equivalencia es que estos de 4 colectores se han tomado hasta bordism (por lo tanto, usted realmente sólo tienen la firma). Esto le da una extensión central de la bordism categoría, y (algunos de) los MTC TQFTs están definidos en esta extensión central. Pero también significa que hay una manera de interpretar este tipo de TQFTs como la asignación de datos a 4-variedades, pero sólo en una (en su mayoría) de forma trivial.
Ahora la 4-colector de estructura fina de Chern-Simmons teoría, pero mi entendimiento es que no es el universal de la estructura (que tiene que ver con el determinante de paquete en los espacios de moduli de superficie, ver Segal "Definición de la Teoría conforme de campos" manuscrito).
