Creo que una de las razones para el estudio de la serie es por el poder de la serie. Hay alguna otra aplicación para el estudio de la serie de los números? Por favor, hágamelo saber si usted tiene alguna idea o comentario.
Gracias de antemano!
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user255545
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Hay muchas razones por las que uno podría desear para el estudio de series infinitas. En mi introducción a la serie infinita implica una pregunta: ¿Puede usted determinar $\sqrt{e}$ a, digamos, 5 decimal de precisión sin una calculadora?
Básicamente, como un punto de partida para el estudio de cualquier tipo de irracional cantidad, necesitamos algún tipo de infinito proceso iterativo que converge hacia esa cantidad. Serie infinita (y especialmente el poder de la serie) proporciona una potente herramienta en el análisis de lo irracional.
Aquí hay un par de cosas más útiles que se pueden hacer con la serie infinita:
- Ciertas integrales pueden ser evaluados numéricamente utilizando el poder de la serie mucho más fácilmente que el uso de una Suma de Riemann. Por ejemplo: $\int\limits_0^1 e^{-x^2}dx$
- Las definiciones de $e^x,\sin(x),$ $\cos(x)$ que implica el poder de la serie tienden a ser los más útiles definiciones para los fines analíticos.
- Algunas de difícil límites de ser muy obvio, cuando las funciones se expresan en términos de potencia de la serie. Por ejemplo: $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x\arctan(x^2)-x^3}{x^5}$
- La serie geométrica binomial y la serie no sólo son super útiles para la generación de una serie infinita que se suman a otras cosas (e.g $\pi$, los valores del logaritmo natural de la función, raíces cuadradas, etc...), son también de importancia histórica en el desarrollo del cálculo.
Isaac Newton deriva el poder de la serie para $\sin(x)$ en la siguiente manera increíble:
- Él utilizó su binomio de la serie para obtener la potencia de la serie para $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- Luego se integra para obtener una serie de $\arcsin(x)$
- Luego invertida esta serie de obtener el poder de la serie para $\sin(x)$, lo que requiere, en mi opinión, un heroico cantidad de álgebra.
Este libro tiene un buen tratamiento de cómo Newton consiguió.
- Sumatorias son una buena práctica para el comienzo de los programadores escribir para los bucles.
- Lo más importante, es divertido pensar acerca de cómo agregar un número infinito de números, o incluso de determinar si la adición de un número infinito de números en un número.
CyclotomicField
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41
La generación de funciones de uso de la serie para resolver ciertos problemas de recuento considerando los coeficientes de la serie en lugar del valor de la propia serie. Usted puede incluso crear funciones de generación que no convergen, como una suma, pero los coeficientes pueden ser interpretados de una manera significativa. Por ejemplo, si te pregunto cómo muchas maneras que usted puede hacer el cambio para $n$ centavos uso de las monedas de diversos valores como la $1,5,10$ $25$ centavos usted puede resolver este problema utilizando una generación de función.
Eul Can
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1353
Una razón es que la serie puede dar un algoritmo para el cálculo de funciones particulares. Si yo le preguntara a alguien lo $\sin(1)$ era, no me sorprendería si se veían en blanco y se encogió de hombros en mí. Pero si yo les pregunté qué $1-\frac{1}{6}+\ldots$, que fácilmente podría averiguar y me dicen.
Otra razón es que un operador en una función (podría) ser más fácil de calcular cuando la función es una serie. Por ejemplo, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sum a_ix^i=\sum \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a_ix^i=\ldots$.
A raíz de @DaveL.Renfro's comentario, ya decimal expansiones son series infinitas en $10^i$, la serie también nos dan una manera de comparar el tamaño de dos objetos. A simple vista, es difícil por lo que dicen si es verdad que $e<\pi$, pero es más fácil de demostrar que el $2+\frac7{10}+\frac1{100}+\ldots<3+\frac1{10}+\frac4{100}+\ldots$ es decir $2.718\ldots<3.141\ldots$.
mlainz
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Otros comentarios han hablado acerca de los usos de una serie infinita en matemáticas. Pero también están en todas partes en las aplicaciones. Por ejemplo, en la física, si se desea calcular la energía potencial de un átomo en un cristal, usted tiene que tomar en cuenta la contribución de la interacción de todos los otros átomos. Usted termina para arriba con y series infinitas. Se llama constante de Madelung.
De la serie son casi tan omnipresente como integrales. Que puedo pensar de usa en la física estadística, la óptica (cuando el estudio de las reflexiones sobre dos cristales), biología (poblaciones), e incluso la filosofía (de la paradoja de Zenón).
Yuriy S
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En la teoría de los números hay otros tipos importantes de la serie. Por ejemplo, el algoritmo voraz y Engel expansión nos permite representar tanto racionales e irracionales número como una suma de fracciones de unidad.
Ambas expansiones se pueden utilizar para probar o refutar la irracionalidad, porque son finito si y sólo si el número es racional.
Si el número es irracional, su expansión sería infinito, y puede ser visto como una serie infinita.
Por otra parte, para algunos números, como algebraica de los números enteros, codiciosos de expansión tiene un patrón, que puede ser usada para calcular sus dígitos:
$$3-2 \sqrt{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{204}+\frac{1}{235416}+\dots$$
Denominadores son $2^n$th términos de la recurrencia $A_n=34A_{n-1}-A_{n-2},~A_0=0,~A_1=6$. http://oeis.org/A082405
$$4-2 \sqrt{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{28}+\frac{1}{5432}+\dots$$
Denominadores son $2^n$th términos de la recurrencia $A_n=14A_{n-1}-A_{n-2},~A_0=0,~A_1=2$. http://oeis.org/A011944
El resto puede ser visto en una pregunta de la mina (con una excelente respuesta dada por Noam D. Elkies):
Los números de $p-\sqrt{q}$ tener ordinario egipcio fracción expansiones?
