Encontrando la matriz para una exponencial de matriz

Question

Estoy tratando de encontrar la matriz $A$ para la cual $$e^{tA}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}(e^t+e^{-t}) & 0 & \frac{1}{2}(e^t-e^{-t}) \\ 0 & e^t & 0 \\ \frac{1}{2}(e^t-e^{-t}) & 0 & \frac{1}{2}(e^t+e^{-t}) \end{pmatrix}$$

Sé que $e^{tA}=\Psi(t)\cdot[\Psi(0)]^{-1}$, entonces $e^{tA}\cdot\Psi(0)=\Psi(t)

Donde $\Psi(t)=(\eta^{(1)}e^{\lambda_1x},\eta^{(2)}e^{\lambda_2x},\eta^{(3)}e^{\lambda_3x})$, con $\lambda_i$ el $i$-ésimo valor propio con el correspondiente vector propio $\eta^{(i)}$.

Sin embargo, esto realmente no me llevó a ninguna parte. ¿Alguien sabe cómo hacer esto?

Answer 1

Como sabes $$e^{tA} = I + tA + (t^2/2)A^2 + ....$$

Así que si diferencias $$e^{tA}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}(e^t+e^{-t}) & 0 & \frac{1}{2}(e^t-e^{-t}) \\ 0 & e^t & 0 \\ \frac{1}{2}(e^t-e^{-t}) & 0 & \frac{1}{2}(e^t+e^{-t}) \end{pmatrix}$$ y evalúas el resultado en $t=0$, obtendrás tu matriz $A$

Encontré que $$A= \begin{pmatrix} 0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$$

Observa que la matriz $A$ satisface $$(e^{tA})' = Ae^{tA}$$ y $$e^{tA} =I$$ en $t=0.$

Answer 2

$$\frac 12 \begin{bmatrix} e^t+e^{-t} & 0 & e^t-e^{-t}\\ 0 & 2 e^t & 0 \\ e^t-e^{-t} & 0 & e^t+e^{-t}\end{bmatrix} = e^t \left( \frac 12\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \right) + e^{-t} \left( \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{bmatrix} \right)$$

donde cada una de las $3$ matrices en el lado derecho es una matriz simétrica de rango $1$ y traza $1$. Por lo tanto, a partir de la descomposición espectral, obtenemos

$$\rm A = \frac 12\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} - \frac 12 \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{bmatrix} = \color{blue}{\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{bmatrix}}$$

que es la matriz de inversión de 3 x 3 reversal matrix.