¿Por qué tenemos que definir los espacios de Lebesgue uso de clases de equivalencia?

Question

Cuando definimos una $L^{p}$ espacio para $1\leq p \leq \infty$, podemos decir que los elementos de este espacio son clases de equivalencia de funciones que son iguales en casi todas partes y $$ \int|f|^{p} dx < \infty $$

¿Por qué no podemos decir que los elementos son funciones que satisfacen $ \int|f|^{p} < \infty $ ?

Entiendo que si $g=f$.e. a continuación, $ ||f||_{L^{p}} = ||g||_{L^{p}} $ es esta la razón para ello?

EDITAR :

La razón de preguntar es porque estoy estudiando un óptimo control de ecuaciones en derivadas parciales del curso, que dice que tenemos que ser cuidadosos cuando se considera el PDE :

$ -\Delta y = f $ $ \Omega $

$ y=0 $ $ \partial \Omega $

...ya que tenemos que definir lo que significa para $ y=0 $$\partial\Omega$, ya que el $\partial\Omega$ tiene medida cero.

Answer 1

Para el $L^p$-norma para ser verdaderamente una norma, debe ser cierto que $\| f \|_{L^p} = 0 \implies f = 0$. Pero si $f$ es una función medible y $\int |f|^p \, dx = 0$, sólo podemos concluir que $f$ es cero en casi todas partes.