Ruta de acceso específica en un gradiente de campo de una silla de montar

Question

Creo que esta es una pregunta clásica, pero no he podido encontrar una referencia útil para entender lo que los publique.

Tomamos la clásica silla de $z=x^2-y^2$. Cuando usted se sienta encima de ella $(0,0)$ que ves en frente de usted que la función se eleva y sus piernas son más de una parábola que es la menos amplia.

Ahora con más complicada silla de montar-como función como $z=(3x+3y)^2-(4x+y)^2$. De esta manera, la silla no es simétrica y quiero para determinar la curva que tiene el mismo papel de los "menos amplia parábola" de el primer caso (así se donde poner mis piernas cómodamente en un cierto sentido)

Pensé que una posible solución podría ser la de calcular el gradiente de campo (que es inmediata, ya que sólo derivaciones son necesarios) y, a continuación, determinar el camino que pasa a través de la "steepest descent" a través de los gradientes. Por lo que esta ruta es la curva que estoy buscando (el equivalente de los "menos amplia parábola").

Es el planteamiento de mi problema correcto?

¿Cómo puedo calcular analíticamente la mayor descenso?

De hecho, necesito un procedimiento que se puede aplicar a funciones más complicadas que los dos mencionados.

Gracias!

Answer 1

En primer lugar calcular la matriz Hessiana en su punto de silla de $(x,y) = (x_0,y_0)$,

$$ H(f)(x_0,y_0) = \left(\begin{array}{cc} f_{xx}(x_0,y_0) & f_{xy}(x_0,y_0) \\ f_{yx}(x_0,y_0) & f_{yy}(x_0,y_0) \end{array}\right). $$

Si el punto de silla es no degenerada que esto va a tener uno positivo y uno negativo autovalor. El vector propio asociado con el negativo autovalor es tangente a la trayectoria de más brusco descenso de la silla de montar y el vector propio asociado con el autovalor positivo es tangente a la trayectoria de subida más empinada.

Por su ejemplo

$$ g(x,y) = (3x+3y)^2-(4x+y)^2 $$

tenemos

$$ H(g)(0,0) = \left( \begin{array}{cc} -14 & 10 \\ 10 & 16 \end{array} \right), $$

que tiene los autovalores $\lambda_{\pm} = 1 \pm 5\sqrt{13}$ con los vectores propios asociados

$$ \mathbf{v}_{\pm} = \left(\frac{1\5 pm\sqrt{13}}{10} - \frac{8}{5},1\right). $$

Así que el camino ascensional es tangente a $\mathbf{v}_+$ y el camino de la empinada pendiente es la tangente a $\mathbf{v}_-$.

Abajo es un dibujo que muestra la línea recta en la dirección de $\mathbf{v}_+$ $\color{red} {\text{red}}$ y la línea recta en la dirección de $\mathbf{v}_-$ $\color{blue} {\text{blue}}$ en la gráfica de $g(x,y)$.

Si su silla está degenerada, entonces usted tendrá que mirar de orden superior con coeficientes en la expansión de Taylor de $f$ centrada en la silla de montar.