Pointwise límite de la función integrable

Question

Pregunta:

Mostrar que la pointwise límite de funciones integrables, no necesariamente es integrable.

Estoy atascado en esta pregunta. Aquí es lo que yo sé.

Deje $(f_n)^{\infty}_{n=1}$ ser una serie de funciones integrables, y vamos a

$$\lim_{n \to \infty} f_n(x)=Z$$

Necesito mostrar que $Z$ no es necesariamente integrable. Debo estar buscando un ejemplo específico? Una función es integrable, pero como $n \to \infty $ la función no es integrable.

Answer 1

Aquí hay otro ejemplo natural en $\mathbb{R}$ con la medida de Lebesgue, que también trabaja en $\mathbb{Z}$ con el conteo de medida: $$ f_n=1_{[-n,n]} $$ El uso de la Monotonía Teorema de Convergencia.

En el mismo espíritu, podemos hacerlo aún peor. Tomar $$ g_n=-1_{[-n,0)}+1_{(0,n]}. $$ A continuación, todos los $g_n$'s $0$ integral. Por lo que $\lim _n \int g_n=0$ exists. Yet the pointwise limit is not integrable. Again neither on $\mathbb{R}$ nor on $\mathbb{Z}$.

Answer 2

Sólo en caso de que su pregunta es acerca de integrabilidad de Riemann, voy a ofrecer una secuencia de Riemann integrable funciones de $f_n\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ tal que $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ existe para todas las $x\in[0,1]$ pero $f$ no es integrable en el sentido de Riemann.

Orden de los racionales en $[0,1]$: $$ [0,1]\cap\mathbb{Q}=\{r_n\}_{n=1}^\infty. $$ Vamos $$ \phi_n(x)=\begin{cases} 1 &\text{if }x=r_n,\\ 0 &\text{otherwise} \end{casos} \quad\text{y}\quad f_n(x)=\sum_{k=1}^n\phi_k(x). $$ A continuación, $f_n$ es Riemann integrable, ya que tiene un número finito de discontinuidades ($r_1,\dots,r_n$), pero $$ f(x)==\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\sum_{k=1}^\infty\phi_k(x)=\begin{cases} 1 &\text{if }x\text{ is rational}\\ 0 &\text{if }x\text{ is irrational} \end{casos} $$ no es Riemann integrable (si bien es Lebesgue integrable).

Answer 3

Sí, un ejemplo concreto es lo que necesita, y usted podría empezar por mirar un conocido función que no es integrable (por ejemplo,$f(x)=1/x$) y, a continuación, encontrar algunas funciones integrables que convergen a $f$ - por ejemplo, considerar las funciones $f_n(x) = \max(f(x),n)$. Yo te permitirá comprobar los detalles ...

Answer 4

Comprobar esto,

$$ \int_{0}^{1}x^{-1+\frac{1}{n}}dx. $$

Tenga en cuenta que, las funciones de $x^{1+1/n}$ son integrables como impropias integrales o en el amplio sentido de Riemann y Lebesgue.