Tengo una pregunta:-
¿hay algún contraejemplo de espacio totalmente acotado pero no limitado
alguien puede ayudarme por favor.gracias por su ayuda
Respuestas
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Brian Hinchey
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Stephan Aßmus
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16
VER http://en.wikipedia.org/wiki/Totally_bounded_space#Definition_for_a_metric_space
Totalmente acotado implica acotado. Son términos utilizados en el entorno de un espacio métrico. Así que no hay ningún contraejemplo como el que pides.
Demostraré por inducción que la unión de conjuntos finitamente acotados sigue siendo acotada. Acotado significa diámetro acotado, dos puntos cualesquiera del conjunto no están más alejados que algún $D.$ El menor límite superior entre los $D$ que funcionan para el conjunto se llama el diámetro del conjunto.
Supongamos que tenemos dos conjuntos no vacíos en un espacio métrico, $A$ tiene un diámetro $D_A,$ set $B$ tiene un diámetro $D_B.$ Además, hay un punto $a \in A$ y $b \in B.$ Hay cierta distancia entre ellos, $$ d(a,b) = W. $$ Como resultado, dos puntos cualesquiera de la unión no están más alejados que $$ W + D_A + D_B $$ que es un límite superior para el diámetro de la unión. Así que la unión también tiene un diámetro.
El paso de inducción consiste en añadir un tercer conjunto, obtener un diámetro mayor, luego un cuarto, y así sucesivamente. Mientras el número de conjuntos en la unión sea finito, el resultado tiene un diámetro finito, es decir, está acotado.
La definición de totalmente acotado es que para cualquier $\epsilon > 0,$ el espacio está cubierto por un número finito de $\epsilon$ -bolas. Pero, por definición y por la desigualdad del triángulo, cada $\epsilon$ -la bola tiene un diámetro no mayor que $2 \epsilon.$ Como un número finito de ellas cubre todo el espacio métrico, también está acotado, es decir, tiene un diámetro finito.
