¿Qué trucos hay para calcular las raíces de polinomios complejos como
$$p(t) = (t+1)^6 - (t-1)^6$$
$t = 1$ no es una raíz. Por lo tanto, podemos dividir por $(t-1)^6$ . Entonces obtenemos
$$\left( \frac{t+1}{t-1} \right)^6 = 1$$
Dejemos que $\omega = \frac{t+1}{t-1}$ entonces obtenemos $\omega^6=1$ lo que nos lleva a
$$\omega_k = e^{i \cdot k \cdot \frac{2 \pi}{6}}$$
Así que ahora tenemos que obtener los valores de t para $k = 0,...5$ .
¿Cómo obtener entonces los valores de t a partir de la siguiente identidad?
$$ \begin{align} \frac{t+1}{t-1} &= e^{i \cdot 2 \cdot \frac{2 \pi}{6}} \\ (t+1) &= t\cdot e^{i \cdot 2 \cdot \frac{2 \pi}{6}} - e^{i \cdot 2 \cdot \frac{2 \pi}{6}} \\ 1+e^{i \cdot 2 \cdot \frac{2 \pi}{6}} &= t\cdot e^{i \cdot 2 \cdot \frac{2 \pi}{6}} - t \\ 1+e^{i \cdot 2 \cdot \frac{2 \pi}{6}} &= t \cdot (e^{i \cdot 2 \cdot \frac{2 \pi}{6}}-1) \\ \end{align} $$
¿Y ahora?
$$ t = \frac{1+e^{i \cdot 2 \cdot \frac{2 \pi}{6}}}{e^{i \cdot 2 \cdot \frac{2 \pi}{6}}-1} $$
Así que tengo seis raíces para $k = 0,...5$ como sigue
$$ t = \frac{1+e^{i \cdot k \cdot \frac{2 \pi}{6}}}{e^{i \cdot k \cdot \frac{2 \pi}{6}}-1} $$
¿Esto es correcto? Pero cómo puede ser que el fondo sea igual a $0$ para $k=0$ ?
No sé exactamente cómo simplificar esto:
$$\frac{ \frac{1}{ e^{i \cdot k \cdot \frac{2 \pi}{6}} } + 1 }{ 1 - \frac{1}{ e^{i \cdot k \cdot \frac{2 \pi}{6}} }}$$
