Mostrar que $\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}A^m \leq n$ donde $A^{m+1}=0$

Question

Deje $A$ $n \times n$ nilpotent matriz sobre un campo $F$$A^{m+1}=0$. Mostrar que $$\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}A^m \leq n.$$

Por FTLA, es equivalente a $$ n \leq \operatorname{nullity}A+\operatorname{nullity}A^m$$ Por definición, $\operatorname{nullity}A^m>0$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que $$\operatorname{nullity}A^r>\operatorname{nullity}A^{r+1}$$ para $0<r<m$

Answer 1

El uso de la forma canónica de Jordan, podemos reducir de inmediato para el caso de que $A$ es uno nilpontent Jordania bloque, y no la desigualdad es inmediata :-)

Answer 2

Supongamos $\mathrm{nullity}(A^r)=\mathrm{nullity}(A^{r+1})$. Desde $\ker(A^r)\subseteq \ker(A^{r+1})$ trivialmente, esto implica que $\ker(A^r)=\ker(A^{r+1})$. Pero, a continuación, $$\ker(A^{r+2})=\{x:Ax\in \ker(A^{r+1})\}=\{x:Ax\in \ker(A^r)\}=\ker(A^{r+1})=\ker(A^r)$$ y, entonces, por inducción, vamos a ver que $\mathbb R^n=\ker(A^{m+1})=\ker(A^r)$, contradiciendo $r<m$.

Answer 3

La dimensión del núcleo de $A^m$ más el rango de $A^m$ es igual a $n$. Desde $A^{m+1}$ es cero, la imagen de $A$ está incluido en el kernel de $A^m$, y, en particular, el rango de $A$ es menor que la dimensión del núcleo de $A^m$. Su fórmula de la siguiente manera.

Answer 4

La imagen de $A^m$ está contenida en el núcleo de $A$, debido a que su composición es $0$. Esto implica $\def\rk{\operatorname{rk}}\rk A^m\leq\dim\ker(A)$. Ahora el rango de nulidad por $A$ da $\dim\ker(A)=n-\rk A$, y la sustitución que da a la solicitada de la desigualdad.