Cuando puede "$j: V \rightarrow M$ es una primaria de la incrustación de" ser definido en ZF?

Question

Esto se refiere a la primaria incrustaciones de interior modelos de la teoría de conjuntos.

Parece que es en general ", declaró" a través de un axioma esquema de cada uno de los miembros de que se afirma que la función de la clase es de primaria con respecto a una fórmula específica.

Sin embargo, para ciertos primaria incrustaciones - es decir, aquellos inducidos por medibles cardenales - que puede ser dicho en una sola frase que la inclusión es de primaria por afirmando que es inducida por una $\kappa$-completa ultrafilter en $\kappa$ algunos $\kappa$. Por lo tanto el buen axioma esquema es, en algunos casos equivalentes a una sola frase.

Cuando es este el caso? ¿Existen trivial primaria incrustaciones $j$ tal de que no hay ninguna frase equivalente a "la función de la clase $j$ es una primaria de la incrustación"?

Answer 1

Aunque no es una respuesta completa, hay un artículo de Mitchell Spector, que se ocupa de la ultrapowers en $\sf ZF$.

Mitchell Spector, Ultrapowers sin el axioma de elección, J. la Lógica Simbólica 53 (1988), no. 4, 1208--1219.

Allí se demuestra (Teorema 1), muy bien, que los siguientes son equivalentes para una ultrapower incrustación $j\colon\mathfrak M\to\mathfrak M^I/U$ donde $I$ es de algún conjunto de índices y $U$ es un ultrafilter en $I$,$\frak M$:

1. En $\frak M$ si $f$ es una función en $I$, de tal manera que $f(x)\neq\varnothing$ $U$-una.e., a continuación, hay algunos $g$ tal que $g(x)\in f(x)$ $U$-una.e.

2. Los teorema de la ultrapower incrustación sostiene.

3. La incrustación es elemental.

4. $\frak M$ $\mathfrak M^I/U$ son elementarily equivalente.

5. $\mathfrak M^I/U$ satisface el axioma de extensionality.

6. Hay algunos $d\in\mathfrak M^I/U$, de tal manera que $\mathfrak M\models\forall x\forall y((y\in x\leftrightarrow y\in d)\rightarrow x=d)$.

La prueba es muy simple, como todos los de adelante implicaciones son triviales. Así que solo queda probar $6\implies 1$, y la prueba no es difícil de seguir. (Me dijeron que el resto de los documentos puede contener errores, pero esta prueba es muy simple y parece ser correcta).

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Así, mientras que yo no puedo darle una respuesta completa, parece que al menos algo se puede decir en ultrapower incrustaciones. También significa que, si el axioma de elección para el buen orden de las familias se mantiene, entonces ultrapowers con medibles cardenales debería ser posible.