En primer lugar, utilizando la serie de Taylor para $e^z$ tenemos $$ \frac{e^z-1}{z} = 1 + \frac{z}{2} + \frac{z^2}{6} + \frac{z^3}{24} + \cdots. $$ Multiplicando esto por la serie de potencias para $z/(e^z-1)$ y comparando los coeficientes (el producto debe ser $1$ ) obtenemos $$ \begin{align*} 1 &= B_0 \\ 0 &= B_1 + 1/2 \\ 0 &= (2B_2) + (1/2) B_1 + (1/6) B_0 \\ 0 &= (6B_3) + (1/2) (2B_2) + (1/6) B_1 + (1/24) B_0 \end{align*} $$ y así sucesivamente. Por lo tanto, $B_0 = 1$ , $B_1 = -1/2$ , $B_2 = 1/6$ , $B_3 = -1/30$ y así sucesivamente.
Si se observa la función $$ f(z) = \frac{z}{e^z-1} + \frac{z}{2} $$ entonces descubres que $$ \begin{align*} f(-z) = \frac{-z}{e^{-z}-1} - \frac{z}{2} = \frac{ze^z}{e^z-1} - \frac{z}{2} = \frac{z}{e^z-1} + z - \frac{z}{2} = f(z). \end{align*} $$ Por lo tanto, $f(z)$ es par y todos los coeficientes de impar en su serie de potencias desaparecen. Esto demuestra que, aparte de $B_1 = -1/2$ todos los demás números de Bernoulli indexados por impar desaparecen. ¿Por qué los necesitamos, entonces? Son sólo la secuencia cuya serie generadora exponencial es $z/(e^z-1)$ .
