¿Qué es $\pi_2 (S^2/ S^1 \vee S^1)$?

Question

He estado trabajando en el "ejercicio de Encontrar $\pi_2 (S^2 / X)$ donde $X$ es la imagen de $S^1 \vee S^1$ en algunas integración en $S^2$".

Primero traté de encontrar algún útil fibrations/cofibrations como esto es un poco de lo que hicimos en la lección de la semana pasada. No fue muy exitoso. Luego he intentado un enfoque más directo, es decir, un dibujo de la situación.

Ahora: si yo embedd $X$ a $S^2$ es de alguna manera va a distinguir a $X$ a $3$ discos. Ahora tomando el cociente, parece bastante claro para mí que $S^2 / X \cong S^2 \vee S^2 \vee S^2$. De que conozco a $\pi_2$$Z^3$.

Es mi intuición correcta? Y no hay una manera fácil de ver formalmente, por ejemplo, utilizando el estándar homeomorphisms para las esferas tales como smash o suspensión?

Answer 1

No es difícil demostrar que $S^2/X$ es homeomórficos a $S^2 \vee S^2 \vee S^2$ directamente. Si usted puede dibujar la imagen con los tres discos, a continuación, usted sabe a dónde enviar cada punto (pensar la presentación de $S^2$$D^2 / \partial D^2$). Sólo queda comprobar que este mapa es un homeomorphism que usted debe ser capaz de hacer.

Mucho menos elemental enfoque que también resulta mucho menos, uno podría argumentar de la siguiente manera. $S^2/X$ es obviousy simplemente conectado. Así que si se puede calcular el $H_2(S^2/X)$, Hurewicz isomorfismo nos dará $\pi_2(S^2/X)$. Pero $H_2(S^2/X)$ no es otra cosa que la relación de homología $H_2(S^2, X)$. De la larga secuencia exacta para el par $(S^2, X)$ $$ 0 = H_2(X) \to H_2(S^2) \to H_2(S^2, X) \to H_1(X) \to H_1(S^2) = 0 $$ nos pondremos de que $H_2(S^2/X) \cong H_2(S^2) \oplus H_1(S^1 \vee S^1)$. Tenga en cuenta que la razón de que la secuencia se divide así como la razón por la que no voy a escribir los coeficientes de la homología es que no hay torsión en las esferas en estas dimensiones reducidas.