Si una $H\le G$ tiene una representación irreducible de dimensión $d$, entonces el espectáculo $G$ tiene un irreductible de representación de, al menos, la dimensión de $d$.

Question

Deje $H$ ser un subgrupo de un grupo de $G$, y deje $\rho :H\to GL(V)$ ser una representación irreducible de dimensión $d$. Demostrar que no es una representación irreducible de $G$ cuya dimensión es de al menos $d$.

Esta es una tarea problema, yo estaría muy agradecido si alguien me podría dar una pista sobre cómo empezar. Estoy suponiendo que yo tenga que aplicar las propiedades de la representación, pero no estoy seguro de por dónde empezar.

Cabe señalar que hemos cubierto tanto Frobineus reciprocidad y Mackey irreductibilidad criterio.

Traté de tomar la inducida por la representación de $\rho$, ya que es todo lo que puedo hacer. Pero el problema es que no puede ser irreductible. Quiero usar Mackey, pero no me siento como que tengo suficiente información para aplicar. De nuevo, cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

Usted puede ver directamente desde la definición de $\rho \uparrow^G$ que su restricción a $H$ tiene un irreductible submódulo isomorfo a (la imagen de) $\rho$. Que no sería posible si todos los factores de composición de $\rho\uparrow^G $ había dimensión de menos de $d$.

Esta argumentos es válido para las representaciones más arbitrario de los campos, mientras que los argumentos que involucran caracteres ordinarios sólo trabajo en el carácter 0, y el problema no hizo ninguna hipótesis sobre el campo de la representación.