$\Bbb Q_{\ge 0}$ primaria definible en $\mathfrak A$=($\Bbb Q$, $\cdot$)

Question

Tengo este ejercicio que parece muy simple, pero no soy capaz de encontrar una solución.

Dada una estructura de $\mathfrak A$=($\Bbb Q$, $\cdot$)

Es $\Bbb Q_{\ge 0}$ primaria definible en $\mathfrak A$?

La fórmula $\phi(x)=\exists y(x=y \cdot y)$ no aceptaría 2, que es, obviamente, en $\Bbb Q_{\ge 0}$. En el otro lado no soy capaz de encontrar un automorphism que no es compatible con la relación $\Bbb Q_{\ge 0}$.

Me pueden ayudar a encontrar una fórmula o el automorphism?

Answer 1

Cualquier número racional distinto de cero $q$ puede escribirse de forma única como $q = 2^nr$ donde $n$ es un número entero y $r$ es un número racional, de tal manera que cuando se $r$ está escrito en términos mínimos como $a/b$ ambos $a$ $b$ son impares. Definir $v_2(q) = n$. (Esto se llama la $2$-ádico de valoración de $q$.)

Considerar el mapa de $f\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ definido por $$f(q) = \begin{cases} q & \text{if $v_2(q)$ is even}\\ -q & \text{if $v_2(q)$ is odd}.\end{cases}$$

Ahora verifique $f$ es un automorphism de $(\mathbb{Q},\cdot)$ que no preservar $\mathbb{Q}_{\geq 0}$, ya que el $f(2) = -2$.

Edit: me siento como si tuviera que poner algún modelo de la teoría en esta respuesta, así que voy a señalar que $(\mathbb{Q},\cdot)$ es un grupo abelian (bueno, casi - tiene el elemento adicional $0$, pero este elemento interactúa trivialmente con el resto de la estructura y no afecta a los conjuntos definibles en todos), y los conjuntos definibles en abelian grupos (y $R$-módulos de manera más general, para cualquier anillo de $R$) son bien conocidos. Ver Teorema 3.3.5 en Tent & Ziegler libro Un Curso en el Modelo de la Teoría.

Cada fórmula es equivalente a una combinación Booleana de positivo primitivas fórmulas, que tiene la forma $$\exists y_1,\dots,y_n\, \bigwedge_{i=1}^k \varphi_k(\overline{x},\overline{y}),$$ donde cada una de las $\varphi_k$ es una ecuación. En el caso de $(\mathbb{Q}_{\neq 0},\cdot)$, una ecuación se parece a $$x_1^{a_1}\cdot \ldots \cdot x_m^{a_m}\cdot y_1^{b_1}\cdot \ldots \cdot y_n^{b_n} = 1,$$ donde todos los $a_i$ $b_i$ son enteros.

Así que si usted desea comprobar si un determinado subconjunto de $\mathbb{Q}$ es definible, usted puede hacer esto mediante la comprobación de si o no su finita combinación Booleana de conjuntos definidos por el positivo primitivas fórmulas. Resulta que positivas primitivas fórmulas siempre definir subgrupos, que puede ser de gran ayuda (aunque una combinación Booleana de subgrupos no es necesariamente un subgrupo). Por supuesto, en este caso el argumento a través de un automorphism era mucho más fácil.