Mal distribuido secuencias en $[0,1]$

Question

Deje $d(X)$ ser asintótico de la densidad de un conjunto $X$ de los enteros positivos, es decir, $$ d(X):=\lim_{n\to \infty}\frac{|X\cap [1,n]|}{n}, $$ siempre que este límite exista.

Revisión también una secuencia $(x_n)$ de reales toma valores en el intervalo cerrado $[0,1]$.

Pregunta. Es posible que, para cada real de a $x$, existe un abierto vecindario $I$ $x$ tal que $ d(\{n: x_n \I\})=0? $

Answer 1

No, no es posible.

Desde $[0,1]$ es compacto, nos encontramos con un conjunto finito de vecindarios $U_1, \ldots, U_m$ cubriendo $[0,1]$.

Suponga que $d(\{n:x_n \in U_k\})$ existe y es igual a cero para todos los $k$.

Para cualquier $\epsilon > 0$ tenemos una $n$ tal que para cada a $k$ hemos $$ \frac{|\{i\leq n: x_i \en U_k|}{n} < \epsilon. $$

Sigue $$ 1 \leq \sum_{k=1}^m \frac{|\{i\leq n: x_i \in U_k|}{n} < m\epsilon $$

donde la primera desigualdad se debe a la $U_k$ cubriendo $[0,1]$.

mediante la selección de $\epsilon$ lo suficientemente pequeño, en particular, a menos de $\tfrac{1}{m}$ tenemos una contradicción.