La lī ogica: la Diferencia entre el 'quién' y 'si' en la simbolización

Question

Considerar las dos frases:

(1) "chessplayers son ricos si son profesionales"
(2) "chessplayers que son profesionales son ricos"

y la clave:

UD: cosas de la Vida

Cx: x es un chessplayer

Px: x es profesional

Rx: x es rico

Ahora, cuando escribo (1) puedo hacer esto:

∀x(Cx --> (Px --> Rx))

(para todos los seres vivos, si se trata de un chessplayer, a continuación, si es profesional, es rico)

para (2) escribo:

∀x((Cx ^ Px) --> Rx)

(para todos los seres vivos, si se trata de un chessplayer y profesional, entonces es rica)

Lo que se lucha con ver por qué tengo que escribir los dos diferentes. En mi cabeza, la frase (1) y (2) expresar el mismo ... Ambos están diciendo que todas las x con la propiedad de ser un chessplayer es rico siempre que también tiene la propiedad de ser un profesional, no lo hacen (si es que tenía sentido)?

"Todos los x son y si x es z" y "Todos los x que es z es x" ... no estas expresar la misma (o casi la misma) cosa. Al parecer no, ya que mi lógica libro muestra. ¿Alguien puede dar una respuesta?

Gracias!

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Pregunta de seguimiento: Estoy muy contento de escuchar que son equivalentes, para la pregunta que realmente me mantenía despierta por la noche! Ahora, me pregunto, si la pena (1) se puede escribir de ambas formas, ¿qué pasa si cambiamos 'si' a 'sólo si'.

Sé que cuando he

∀x(Cx --> (Px --> Rx))

y la pregunta cambia a "sólo si ..." no puedo simplemente cambiar el antecedente y el consecuente en la 'principal' consiguiente, como este:

∀x(Cx --> (Rx --> Px))

pero si puedo equitativamente escribir la frase como:

∀x((Cx ^ Px) --> Rx)

cómo se podría ir sobre la fabricación de la frase 'sólo si'-frase ...? Yo no puedo cambiar el antecedente y el consecuente, para que luego sería decir "para todos los seres vivos, si es rico, entonces es un chessplayer y profesional", que seguramente no es lo que la expresión inglesa que se quiere decir. La solución es simplemente que me interruptor de Rx y Px y dejar Cx permanecer como está, como este:

∀x((Cx ^ Rx) --> Px)

?

Answer 1

Los dos wffs

$\forall x(Cx \to (Px \to Rx))$

y

$\forall x((Cx \land Px) \to Rx))$

son equivalentes en cualquier familiar de la lógica con la habitual polémica reglas para la conjunción y el condicional, y para el cuantificador universal. Así que no hay nada importante para elegir entre ellos, como las traducciones de una de las frases en inglés.

La lógica de los libros de dar útil reglas de oro para la representación general de las instrucciones que contienen cláusulas relativas en el formalismo, y para estar seguro de que, algunos libros sugieren representación de "todos los $C$s-que-se -$P$ $R$" la segunda manera. Pero, por las razones que usted íntimo -- no sería erróneo sugerir que la primera entrega. De hecho, son equivalentes e igualmente buena entregas. No es una cuestión de libros recomendando una versión a la derecha y diciendo que los demás están equivocados.

La divulgación completa: me registré para ver lo que un P*t*r Sm*th dio por medio de la regla de oro de la traducción en su Introducción a la Lógica Formal. Y yo estaba interesado en descubrir que en ese excelente libro, el autor pasa a saltar por la segunda vía. Me había olvidado. Pero es bastante cuestión de gusto que manera de saltar.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\forall x\Big(C(x) \rightarrow(P(x) \rightarrow R(x))\Big)\equiv \forall x\Big((C(x) \land P(x))\rightarrow R(x)\Big)$$

Así que no hay necesidad de preocuparse; las dos declaraciones son lógicamente equivalentes.

Con sólo mirar a la siguiente, podemos ver cómo las declaraciones de la forma $P \rightarrow (Q\rightarrow R)$ son equivalentes a los de la forma $ (P\land Q)\rightarrow R$:

$$\begin{align} P \rightarrow (Q\rightarrow R) & \equiv \lnot P \lor (\lnot Q \lor R) \\ \\ &\equiv (\lnot P \lor \lnot Q) \lor R \\ \\& \equiv \lnot(P \land Q) \lor R \\ \\ &\equiv (P \land Q) \rightarrow R\end{align}$$