Elemento irreductible del anillo.

Question

Elemento $X_1 X_2 \cdots X_n - 1$ es irreducible en $K[X_{1},\ldots,X_{n}]$ para $n\ge 1$ , donde $K$ es un campo. Para $n=2,3$ es fácil ver que el elemento es irreducible pero para un valor mayor de $n$ Estaba tratando de usar el argumento inductivo pero no me hago a la idea.

Answer 1

Sugerencia $\, $ Es un caso especial de: $\rm\:ax\!+\!b\in D[x]\:$ es irreducible para el dominio $\rm\:D\:$ y $\rm\:0\ne a\:$ y $\rm\,b\,$ coprime. De hecho, si es reducible, entonces la comparación de grados (usando $\rm\,D\,$ dominio) deducimos que un factor sería una constante no unitaria, por lo que sería un divisor común no unitario de $\rm\,a,b,\,$ contra hipótesis. Esto puede fallar si $\rm\,D\,$ no es un dominio, por ejemplo $\rm\,(2x\!+\!1)(3x\!-\!1) = x\!-\!1 \in \Bbb Z/6[x].$

El suyo es un caso especial $\rm\:D = K[X_1,\ldots,X_{n-1}],\ a = X_1\cdots X_{n-1},\ x = X_n,\ b = -1.$

Nota: $\ $ Este criterio de "primitividad" para la irreducibilidad se generaliza a los polinomios de mayor grado. En concreto, si $\rm\,D\,$ es un dominio con campo de fracción $\rm\,K\,$ entonces, para un polinomio no constante $\rm\,f\in D[x]$

$$\rm f\,\ is\ prime\ in\ D[x]\iff f\,\ is\ prime (= irreducible)\ in\ K[x]\ and\,\ f\,\ is\ superprimitive $$

$$\rm where\,\ f\,\ is\ {\bf superprimitive}\ in\ D[x]\,\ :=\,\ d\,|\,cf\, \Rightarrow\, d\,|\,c\,\ \ for\ all\,\ c,d\in D^*$$

Answer 2

Sabemos que la localización del dominio integral es el dominio integral. Así que $K[X_{1},...X_{n-1}]$ [ $1/X_1\cdots X_{n-1}$ ] es un dominio integral, por lo que el ideal ( $X_1\cdots X_n - 1$ )`es primo y $K[X_{1},\ldots,X_{n}]$ es un UFD por lo que ( $X_1\cdots X_n - 1$ ) tiene que ser irreducible .

Answer 3

Supongamos que $f(X_1,\ldots,X_n) | X_1\cdots X_n-1$ . Evaluar en $X_i=0$ vemos que $f(X_1,\ldots,0,X_{i+1},\ldots,X_n) | -1$ y por lo tanto debe ser un elemento de $K$ que debe ser el término constante $f_0$ . Así, $f(X_1,\ldots,X_n)-f_0$ es divisible por todos los $X_i$ Así que $f=g\cdot X_1\cdots X_n+f_0$ para algunos $g\in K[X_1,\ldots,X_n]$ . Así, para algunos $h\in K[X_1,\ldots,X_n]$ tenemos $h\cdot (g\cdot X_1\cdots X_n + f_0)=X_1\ldots X_n-1$ . Si $g$ es distinto de cero (y en caso contrario $f\in K$ ), ambos $h$ y $g$ puede tener grado como máximo $0$ ya que de lo contrario el grado del LHS superaría al de la derecha, por lo que vemos que $h_0g_0=1$ y $h_0f_0=1$ así que $$f=-f_0\cdot X_1\ldots X_n+f_0=-f_0(X_1\cdots X_n-1)$$ que es un asociado de $X_1\cdots X_n-1$ . Así, $X_1\cdots X_n-1$ es irreducible.

Answer 4

Otra prueba más.

El grado $1$ polinomio $-X_1 + X_2 \cdots X_n$ es irreducible sobre $k[X_2,\dotsc,X_n]$ y, por tanto, lo mismo ocurre con su invertir $X_1 X_2 \dotsc X_n - 1$ .