Descomponer $A$$A = LPU$,

Question

, donde $A \in Gl_ n \left( \mathbb{R^n} \right)$, $L$ es triangular inferior, $U$ es triangular superior con elementos de la diagonal de a $1$, e $P$ es una matriz de permutación.

Es bastante fácil de descomponer cualquier invertible tal $A$ $PA = LU$ (1) (más o menos la eliminación Gaussiana con pivote). Pero, ¿qué es constructiva de la prueba para obtener la anterior descomposición? La forma habitual puedo demostrar (1) es la aplicación de matrices elementales a la izquierda del pivote $PA$ a, y esto (?) cambio $PA$, no sólo a $A$ (si sólo cambió $A$, se podría conmutar $P$).

Este es un ejercicio de Artin, 2ª edición, capítulo 2º, M* ejercicios.

Gracias.

Answer 1

Hay una variante de la eliminación Gaussiana, donde no se mueven de los pivotes hasta después de haber borrado las entradas por debajo del pivote. Por ejemplo, en el $2 \times 2$ de los casos, si usted tiene $$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix},$$ the first step in Gaussian elimination would be to swap the two rows. But in the variant, you only do 'L' moves first. In each column, the entry you choose to become the pivot is the same as in Gaussian elimination (the highest non-zero entry that does not occur in the row of a previous pivot), but you don't move it. You can still clear all the entries below a leading 1, so that after you finish the forward phase (minus row swapping), you can swap rows to get to row echelon form. This gives $PLA = U$, so multiplying on the left by $P^{-1}$, then $L^{-1}$ decomposes $$ into $PLU$ formulario.

Para ilustrar con $A$, $$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$ así $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. $$

(Por supuesto, en este ejemplo, hay una simplificación de la $PU$ descomposición, pero el algoritmo general insinuado por encima de las obras en general.)