Srednicki la "Teoría Cuántica de campos", una copia electrónica de la que está disponible gratuitamente aquí, parece que a estado en la p 205 que los estados eq. (32.3) que se diferencian por una fase factor que puede variar a través de [0,2$\pi$) son mutuamente ortogonales. Pero si el subyacente espacio de Hilbert separable, esto no parece posible. Quien me puede ilustrar?
Respuestas
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joshphysics
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Para el beneficio de los demás que lean esto, tenga en cuenta que si $\mathcal H$ es un espacio de Hilbert separable, entonces existe una contables, ortonormales base para $\mathcal H$. Note que esto no inmediatamente implica que no puede existir un sinnúmero de base para $\mathcal H$, pero esto no obstante resulta ser cierto que, como consecuencia de la dimensión teorema;
Deje $V$ ser un espacio vectorial, entonces cualquiera de las dos bases para $V$ tienen la misma cardinalidad.
Ver también los cursos siguientes.SE los posts:
Ahora, para tu pregunta. Supongamos que hay un número incontable de ortogonal vacuua $|\theta\rangle$ en el espacio de Hilbert donde $\theta\in [0,2\pi)$, entonces tenemos las siguientes posibilidades
El espacio de Hilbert de la teoría no es separable. En este caso, no hay ninguna contradicción.
El espacio de Hilbert de la teoría es separable. En este caso, no es una contradicción, y necesitamos una resolución.
Hasta donde yo sé, la mayoría de los axiomatizations de QFT suponer que el espacio de Hilbert de la teoría es separable, pero no hay discusión en la literatura sobre relajante esta suposición. Voy a intentar sacar algunas referencias.
Vamos, por tanto, asumir la separación y buscar una solución. La resolución estándar es de que cuando se construye el espacio de Hilbert de la teoría, uno elige sólo uno de ellos (equivalente físicamente) vacuua a ser el vacío del espacio de Hilbert, entonces se construye el resto de la física espacio de Hilbert sobre este vacío. El resto de la vacua no son elementos del espacio de Hilbert de la teoría.
Hay otra perspectiva en este que es muy interesante. Supongamos que hay algunos más grandes, no separables espacio de Hilbert $\mathcal H_\mathrm{big}$ contiene todos los vacua $|\theta\rangle$ y que es ortogonal suma directa de todos los espacios de Hilbert $\mathcal H_\theta$ que podría haber sido generada a partir de cada una de las posibles vacua y se utiliza como la física espacio de Hilbert de la teoría.
\begin{align}
\mathcal H_\mathrm{big} = \bigoplus_{\theta\in[0,2\pi)} \mathcal H_\theta
\end{align}
A continuación, podemos ver cada uno de los espacios de Hilbert $\mathcal H_\theta$ como superselection sector de la mayor espacio de Hilbert $\mathcal H_\mathrm{big}$. En este caso, si el sistema físico que ocupa un estado $|\psi\rangle$ en un determinado superselection sector de la $\mathcal H_\theta$, entonces el estado del sistema se mantendrá en el sector para todos los tiempos bajo el Hamiltoniano de la evolución, por lo que bien podemos ver "el" espacio de Hilbert del sistema simplemente como la superselection sector se inició en. En un sentido, esto es esencialmente el mismo que originalmente haber escogido un vacío sobre el que construir el espacio de Hilbert, ya que los distintos superselection sectores no "hablar" el uno al otro.
Los siguientes física.SE post es útil para la comprensión de superselection sectores:
Lo que realmente se superselection sectores y para qué se utilizan?
También he encontrado la siguiente nLab página en superselection teoría para ser esclarecedor:
Heterotic
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No es 100% seguro, pero aquí es un intento de una solución:
1)en Primer lugar, no es claro para mí por qué el subyacente espacio de Hilbert necesita ser separables. Es mencionado en algún lugar en el libro y hay una razón física para este requisito?
2)no Obstante, voy a suponer aquí que el espacio de Hilbert de los estados físicos de las necesidades, de hecho, para ser separables. Una forma posible de salir de la contradicción es la siguiente: Hay un incontable número de soluciones que minimicen el potencial, pero todos ellos son físicamente equivalentes. Usted puede imaginar que estas soluciones viven en algún tipo de espacio si se quiere, pero este no es el espacio de Hilbert de estados físicos. Fuera de estas soluciones nos arbitrariamente escoger uno y lo definen como el verdadero (física) de vacío. Pero cualquier opción es equivalente físicamente y todos ellos llevan a la misma (sola) estado físico.
