Hamiltoniana tiempo invariancia

Question

Dada una configuración genérica espacio inspirado en un colector de Riemann $(Q$,$\langle , \rangle)$, quiero demostrar que el Hamiltoniano es una constante de movimiento.

El programa de instalación

La energía cinética $K:TQ \to \mathbb{R}$ es dado. por $K(p,v) := \frac{1}{2}\langle v,v \rangle_p$.

Una energía potencial de la función de $V:Q \to \mathbb{R}$ es dado.

Newton, las Ecuaciones son:

$$ \nabla_{\dot{q}} \dot{q} = -\nabla V, \ \text{where } \nabla \ \text{is given by the Levi Civita connection from } \langle , \rangle. $$

El Hamiltoniano $H: TQ \to \mathbb{R}$ es el dado por $$ H(p,v) = K(p,v) + V(p). $$

Quiero mostrar que, a lo largo de una curva de $q:I\subset\mathbb{R} \to Q$ la satisfacción de las ecuaciones de Newton, tenemos $$ \frac{d}{dt} H(q(t),\dot{q}(t)) = 0. $$

Trabajo

Voy a omitir el argumento de $t$ en el siguiente: $$ \begin{align} \frac{d}{dt} H(q,\dot{q}) &= \frac{d}{dt} K(q,\dot{q}) + \frac{d}{dt}V(q) \\ &= \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \langle \dot{q}, \dot{q} \rangle_q + dV(q)\Big(\frac{d}{dt}\Big) \\ &= \langle \nabla_{\frac{d}{dt}} \dot{q}, \dot{q} \rangle_q + \langle \nabla V, \frac{d}{dt} \rangle_q \\ &= \langle \nabla_{\frac{d}{dt}} \dot{q}, \dot{q} \rangle_q - \langle \nabla_{\dot{q}} \dot{q}, \frac{d}{dt} \rangle_q. \end{align} $$

Sin embargo, no estoy convencido de que, en general, $$ \langle \nabla_B A,A \rangle - \langle \nabla_A A, B \rangle = 0, $$

así que creo que puede estar olvidando algo específico para estos campos vectoriales. O eso, o he cometido algún error con la notación.

Answer 1

Usted ha hecho un poco de confusión, pero sus cálculos son casi correcta. Cuando usted escribe $H(q,\dot{q})$ que implícitamente ya han pasado a coordenadas locales $(q,\dot{q})$$TQ$. Así que usted debe escribir $\frac {d q} {dt}$ en lugar de $\frac d {dt} $, que es igual a $\dot{q}$. También desde la conexión es compatible con la métrica, usted tiene que $\frac {d} {dt}\langle V,W\rangle = \langle D_t V,W\rangle + \langle V,D_t W\rangle$ donde $D_t$ es la derivada covariante (en el caso de $D_t \dot q = \nabla_{\dot{q}} \dot{q}= -\nabla V$).

Así que el último de la fila es $\langle D_t \dot{q}, \dot{q} \rangle_q - \langle \nabla_{\dot{q}} \dot{q}, \dot{q} \rangle_q = \langle\nabla_{\dot{q}} \dot{q}, \dot{q} \rangle_q - \langle \nabla_{\dot{q}} \dot{q}, \dot{q} \rangle_q = 0 $.

En aras de la exhaustividad, si usted no quiere trabajar en local de coordenadas, puede utilizar $\left. \cfrac {d}{dt} \right|_t (V\circ q) = d_{q(t)} V d_t q (\frac \partial {\partial t}|_t) $ donde $d_t q (\frac \partial {\partial t}|_t) $ es el vector tangente identificado con $\dot{q}(t)$.