* si $\sum_{n=1}^\infty u_{n}$ ser divergentes, a continuación, $\sum_{n=1}^\infty n u_{n}$ es convergente o divergente *

Question

deje $\sum_{n=1}^\infty u_{n}$ ser divergentes
$\sum_{n=1}^\infty n u_{n}$ esta serie es divergente o convergente? gracias de antemano

Answer 1

La serie es divergente.

Voy a demostrar que si $\sum_{n=1}^\infty n\,u_n$ es convergente, entonces $\sum_{n=1}^\infty u_n$ es también convergente. $$ \sum_{n=1}^\infty u_n=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\,(n\,u_n). $$ La secuencia de $1/n$ es decrasing y converge a $0$. Desde $\sum_{n=1}^\infty n\,u_n$ converge, las sumas parciales $\sum_{k=1}^nk\,u_k$ son acotados. Por Dirichlet en la prueba, $\sum_{n=1}^\infty u_n$ converge.