Demostrando la secuencia de igualdad utilizando el teorema del binomio

Question

El problema: Demostrar que para $n \in \mathbb N$:

$$ \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1 + \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m!} \left(1 - \frac{1}{n} \right) \left(1 - \frac{2}{n} \right) \cdots \left(1 - \frac{m-1}{n} \right). $$

La sugerencia es utilizar el teorema del binomio. De modo que el lado izquierdo puede ser:

$$ \sum_{m=0}^{n} \frac{n!}{m!(n - m)!} \left(\frac{1}{n} \right)^m $$

Realmente no sé a dónde ir desde aquí, he tratado de manipular las expresiones para darles un aspecto similar, pero realmente no estoy llegando a ningún lado.

Answer 1

Tome la segunda suma $$ \sum_{m=0}^{n} \frac{n!}{m!(n - m)!} \left(\frac{1}{n} \right)^m $$ y escribo como $$ 1+\sum_{m=1}^n \frac{n!}{m!(n - m)!} \left(\frac{1}{n} \right)^m $$ para obtener los índices de coincidencia.

En su primera suma $$ \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m.} \left(1 - \frac{1}{n} \right) \left(1 - \frac{2}{n} \right) \cdots \left(1 - \frac{m-1}{n} \right) $$ ignorando el $\frac{1}{m!}$ por ahora, aviso $$ \left(1 - \frac{1}{n} \right) \left(1 - \frac{2}{n} \right) \cdots \left(1 - \frac{m-1}{n} \right)=\left(\frac{n-1}{n}\right)\left(\frac{n-2}{n}\right)\cdots\left(\frac{n-m+1}{n}\right). $$ Multiplicando por $1=\frac{n}{n}$ da $$ \frac{n}{n}\left(\frac{n-1}{n}\right)\left(\frac{n-2}{n}\right)\cdots\left(\frac{n-m+1}{n}\right)=\dots $$ Se puede tomar desde allí?

Answer 2

Sugerencia. $\displaystyle 1 - \frac{k}{n} = \frac{n-k}{n}$. Así $$\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right) = \frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-(m-1))}{(n)(n)\cdots(n)}.$$