En el existentence de un elemento de un grupo cuyo orden es el MCM de las órdenes de dos elementos que son commutaive

Question

Se me ocurrió la siguiente proposición.

La proposición Deje $G$ ser un grupo. Deje $x, y$ ser elementos finitos de orden en $G$ tal que $xy = yx$. Deje $n$ ser el orden de $x$. Deje $m$ ser el orden de $y$. Deje $l =$ lcm$(n, m)$. Entonces existe un elemento de orden $l$$G$.

Esquema de la prueba de Existe un divisor $a$ $n$ y un divisor $b$ $m$ tales que mcd$(a, b) = 1$$l = ab$. Existen $x, y \in G$ cuyas órdenes se $a, b$ respectivamente. A continuación, $z = xy$ es de orden $l$.

Mi pregunta ¿Cómo se puede demostrar la proposición? Me gustaría saber otras pruebas basadas en ideas diferentes de la mía. Les doy la bienvenida a ofrecer muchas pruebas diferentes como sea posible.

Answer 1

Supongamos $m$ $n$ son relativamente primos. Deje $\circ(xy) = s$. Desde $(xy)^l =e$,$s \mid l$. Ahora $(xy)^s = e$, implica $x^sy^s =e$ y, por tanto,$x^s=y^{-s}$. Ahora $x^{sn}=e$ $y^{sm}=e$ rendimiento $m \mid ns$$n\mid sm$. Desde $gcd(m,n)=1$, $m\mid s$ $n\mid s$ e lo $mn=lcm(m,n)=s$.

Ahora suponemos que $m$ $n$ no son relativamente primos. Escribimos $l=p^{r1}_{1}⋯p^{rs}_{s}$, $p_i$ son los números primos y $ri \geq 1$. El uso de la parte 1, es suficiente para demostrar que para cada una de las $i$, existe un elemento de orden $p^{ri}_{i}$. Tenga en cuenta que $p^{ri}_{i}$ divide cualquiera de las $m$ o $n$. Por lo tanto $y^{m/p^{ri}_{i}}$ o $x^{n/p^{ri}_{i}}$ (lo que uno divide en partes iguales) tiene orden de $p^{ri}_{i}$. Por lo tanto, hemos demostrado que un elemento de orden $l$, el mínimo común múltiplo de a$m$$n$$G$.

Answer 2

se puede demostrar que si $x$ tiene fin $m$ ,$y$ tiene orden de $n$$xy=yx$, entonces el orden de $xy$ $lcm(m,n)$ si $gcd (m,n) =1$.