Problema con la definición de la equivalencia Rudin-Keisler

Question

Estoy intentando hacer el ejercicio 7.11 de "Teoría de Conjuntos" de Jech: Si $D$ y $E$ son ultrafiltros en $\omega$ entonces $D\leq E$ y $E\leq D$ implica que $D\equiv E$ , donde $\leq$ es la ordenación Rudin-Keisler, y en este libro se define $D\equiv E$ si existe una biyección $f:\omega\rightarrow\omega$ tal que $f(D)=E$ existe un resultado previo en el que se demuestra que :

1. si $f:\omega\rightarrow\omega$ es tal que $f(D)=D$ entonces $\{n:f(n)=n\}\in D$ .

También leí este definición en wikipedia, bajo esta definición el problema es trivial debido a $1$ Pero no sé cómo proceder según la definición de Jech, cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Desde $D\le_{\text{RK}}E$ existe una función $f_0:\omega\to\omega$ tal que $d\in D$ si $f_0^{-1}[d]\in E$ . Del mismo modo, existe una función $f_1:\omega\to\omega$ tal que $e\in E$ si $f_1^{-1}[e]\in D$ . Aplicando (1) a $f_1\circ f_0$ o $f_0\circ f_1$ , se obtienen conjuntos $d\in D$ y $e\in E$ y una biyección $h:d\to e$ tal que para $x\subseteq e$ , $x\in E$ si $h^{-1}[x]\in D$ . Elija cualquier $d'\in D$ tal que $d'\subseteq d$ y $d\setminus d'$ es infinito, dejemos que $e'=h[d']$ y que $g_0=h\upharpoonright d'$ . Claramente $g_0$ es una biyección de $d'$ a $e'$ y para $x\subseteq e'$ tenemos $x\in E$ si $g_0^{-1}[x]\in D$ . Sea $g_1:\omega\setminus d'\to\omega\setminus e'$ sea cualquier biyección; entonces $g=g_0\cup g_1$ es una biyección de $\omega$ a $\omega$ y $x\in E$ si $g^{-1}[x]\in D$ , según se desee.