Yo estaba trabajando en una pregunta que define una nueva operación entre vectores.
Deje $\vec{u}=(u_i)_{i\in\lbrack n\rbrack},\vec{v}=(v_i)_{i\in\lbrack n\rbrack}\in\Bbb R^n$, definir $\star:\Bbb R^n\times\Bbb R^n\to\mathcal{M}_n(\Bbb R)$ donde $\vec{u}\star\vec{v}=A_{ij}=(u_iv_j)$ como una matriz.
La pregunta es la siguiente:
Si $\vec{u},\vec{v}$ son linealmente independientes, encontrar el rango de la matriz $\vec{u}\star\vec{v}-\vec{v}\star\vec{u}$.
Yo lo que hice fue probar la conjetura de la clasificación con un par de común l.yo. los vectores. Elegí $e_1, e_2$. Esto me dio la matriz con entradas de $1$ en $(1,2)$, $-1$ en $(2,1)$, e $0$ en otros lugares. Por tanto, si la pregunta es verdadera, la matriz del rango se $2$.
Para probar esto traté de comprobación de lo que sucedió al $\vec{u},\vec{v}$ eran linealmente dependiente. La única posibilidad es que $\vec{v}$ es un escalar varios de $\vec{u}$, $\vec{v}=\lambda\vec{u}$ real $\lambda$.
Debe $\lambda$$0$, la matriz del rango sería de 1. Otra cosa, la matriz sería la matriz cero.
Ahora a probar el resultado, creo que si puedo demostrar que el rango es menor o igual a $2$ luego tengo la prueba. Esto es porque los otros casos son cubiertos en lo que acabo de escribir.
Aún así, me parece que incluso si fuera cierto, mi prueba sería demasiado débil y no es elegante. Estoy buscando consejos y ayuda para acercarse a la solución.
