Para todos los $n$, hay una manera de elegir los puntos y los colores que las fuerzas de $ P $ tienen un grado mínimo de $ n-2 $ .
Suponga $ n \geq 3 $ (el menor de los casos son fáciles).
Elegir los puntos de $ \{(i,0) | 1 \leq i \leq n-2\} \cup \{(n-1,1),(n,n^2)\}$. Los colores alternando blanco y negro en el orden de su $ x $-coordenadas.
Para cualquier $ 1 \leq i \leq n-3 $, tenemos que, o bien $ P(i) \geq 0$ $ P(i+1) \leq 0 $ o viceversa. Desde $ P $ no es cero en algún lugar entre el $ i $ y $ i + 1 $ ($ P $ no puede ser el $ 0 $ polinomio de que no dividen los puntos), $ P $ tiene una raíz en algún lugar de $ [i,i+1]$. Es posible que dos de estas raíces a ser el mismo, pero no es difícil ver que este debe ser el doble de la raíz, o más raíces en uno de los dos intervalos. Esto le da una raíz de $P$ por cada $ i $, con un total $ n - 3 $ raíces.
Suponga que $ P $ tiene el grado $ k = n-3 $. A continuación, $ P $ no puede tener más raíces que ya hemos encontrado. Deje $ x_1, x_2 ... x_{n-3} $ ser estas raíces.
Puesto que los dos últimos puntos están tanto por encima de la $x$-eje, y uno de esos puntos es un límite inferior, $ P $ debe mantenerse por encima de la $x$-eje después de su última raíz.
Ahora consideremos los dos casos, cuando el punto final es un límite inferior o un límite superior.
Caso 1: El punto final es un límite superior.
El punto en el $(n-2,0)$ es también un límite superior. $ P $ es, después de su última raíz, en el lado "equivocado" de la $x$-eje para este punto. Su última raíz en la mayoría de las $ n-2 $, por lo que debe pasar por el punto de $(n-2,0)$.
A continuación, va a estar en el lado equivocado de la $x$-eje en el punto anterior, y la anterior de la raíz está en la mayoría de los $ n-3 $, lo $ P $ debe pasar por el punto de $(n-3,0)$.
Este proceso continúa a través de todos los puntos, y $ P $ debe pasar por el 2 ° punto, sólo para estar en el lado equivocado de la $x$-eje para el primer punto. Pero, a continuación, $ P $ ya ha $n-3$ raíces, por lo que no puede cruzar la $x$-eje de nuevo para llegar a el lado correcto para el 1er punto. Por lo tanto, tenemos una contradicción.
Caso 2: El punto final es un límite inferior.
Ya sabemos que todas las raíces de $ P $, se puede escribir como $ P(x) = a \displaystyle\prod_{i=1}^{n-3} (x-x_i)$.
Ahora, nos puede dar una cota superior para $
\dfrac{P(n)}{P(n-1)}\\
= \dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^{n-3} (n-x_i)}{\displaystyle\prod_{i=1}^{n-3} (n-1-x_i)} \\
\leq \dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^{n-3} (n-i)}{\displaystyle\prod_{i=1}^{n-3} (n-1-(i+1))} \\
= \dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^{n-3} (n-i)}{\displaystyle\prod_{i=1}^{n-3} (n-2-i)} \\
= \dfrac{\displaystyle\prod_{i=3}^{n-1} i}{\displaystyle\prod_{i=1}^{n-3}}\\
= \dfrac{(n-1)!/2}{(n-3)!}\\
= \dfrac{(n-1)(n-2)}{2}\\
< n^2
$
Pero desde el último punto, $(n,n^2)$ es un límite inferior, y el 2º último punto, $(n-1, 1)$ es un límite superior, tenemos $ P(n) \geq n^2 $$ P(n-1) \leq 1 $, lo $ \dfrac{P(n)}{P(n-1)} \geq n^2 $, y hemos llegado a una contradicción.
