Demostrando que $F_{kn}$ es un múltiplo de a $F_n$ por inducción en $n$ (los números de Fibonacci)

Question

Pregunta: quiero demostrar que la $F_{kn}$ es un múltiplo de a $F_n$.

Enfoque: tengo que deducir de este resultado a partir de los siguientes resultados:

$$F_{n+k} = F_{k}F_{n+1} + F_{k-1}F_{n}$$

Me han mostrado el resultado por inducción en $k$. Quiero saber si es posible demostrar que a través de la inducción en $n$ lugar. He intentado pero meterse en un lío. Hay algo que deba ser cuidadosos a la hora de elegir cuál es la variable para llevar a cabo la inducción?

Gracias.

Answer 1

De hecho, su fórmula puede escribirse: $$F_{n+k+1} = F_{k+1}F_{n+1} + F_{k}F_{n}$$

y este es simétrica en $k$ $n$ por lo que el mismo argumento funciona también, (sólo se puede cambiar a $k$ $n$ $n$ $k$ y en la primera prueba se hace una inducción en $n$)

Answer 2

Para$n,m\in\mathbb{Z}$$n>m>1$, se puede utilizar la identidad $$ F_{n-m+1}F_m+F_{n-m}F_{m-1}=F_n\etiqueta{1} $$ probar que para cualquier $n,m\in\mathbb{Z^+}$ que $F_m$ divide $F_{nm}$ (es decir, $F_{nm}$ es un múltiplo de a $F_m$).

Para lograr esto, fix $m\geq 1$ e inducir a los en $n$. Para cada una de las $n\geq 1$, vamos a $S(n)$ denotar la declaración de que $F_m$ divide $F_{mn}$.

Base paso: Para $n=1, F_m$ es idéntica a $F_{m\cdot 1}$, por lo que el ex divide el último y $S(1)$ es cierto.

Inducción paso: Para algunos fijos $k\geq 1$, supongamos que $S(k)$ es cierto, es decir, $F_m$ divide $F_{mk}$, dicen, $qF_m=F_{mk}$. Para ser mostrado es que $S(k+1)$, es decir, que $F_m$ divide $F_{m(k+1)}$. El uso de $(1)$, $n$ reemplazado por $m(k+1)$, tenemos los siguientes: \begin{align} F_{m(k+1)} &= F_{m(k+1)-m+1}F_m+F_{m(k+1)-m}F_{m-1}\\[0.5em] &= F_{mk+1}F_m+F_{mk}F_{m-1}\\[0.5em] &= F_{mk+1}F_m+qF_mF_{m-1}\tag{by %#%#%, the ind. hyp.}\\[0.5em] &= F_m(F_{mk+1}+qF_{m-1}), \end{align} y por lo $S(k)$ divide $F_m$, demostrando que la $F_{m(k+1)}$ sigue, completando el paso inductivo.

Por inducción matemática, la declaración de $S(k+1)$ es cierto para todos los $S(n)$. Desde $n\geq 1$ fue arbitraria, con esto se completa la solución. $m$