Demostrar $ne^{-n}$ converge a cero

Question

¿Cómo puedo probar que $ne^{-n}$ converge a cero? He intentado $ne^{-n}<{\epsilon}$ y, a continuación, el registro de ambos lados, pero no se podía avanzar más.

Gracias

Answer 1

Sugerencia

$$ 0 \le \frac{n}{e^n} \le \frac{2^n}{e^n} = \left({\frac{2}{e}} \right)^n $$

Sabemos que $ e \gt 2$ y, por tanto, la serie geométrica $\sum \left({\frac{2}{e}} \right)^n$ converge la cual necesita que $ \lim \left({\frac{2}{e}} \right)^n = 0$. Ahora aplicamos el Teorema del sándwich.

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Usted puede utilizar su enfoque demasiado.

Deje $\epsilon \gt 0$ ser arbitraria.

$$ \left|{\frac{n}{e^n}}\right| = \frac{n}{e^n} \le \frac{2^n}{e^n} $$

Ahora, observe que $ \dfrac{2^n}{e^n} \lt \epsilon \iff \ln {\dfrac{2^n}{e^n}} \lt \ln \epsilon \iff n \ln \dfrac{2}{e} \lt \ln \epsilon \iff n \gt \dfrac{\ln \epsilon}{\ln \dfrac{2}{e} } $

donde $\ln \dfrac{2}{e} \lt 0 $ desde $ \dfrac{2}{e} \lt 1$

Answer 2

Considere el hecho de que $e^n\geq n^2/2$. La desigualdad es una simple consecuencia de la expansión de la serie de la función exponencial.