En $\mathcal{C}([0,1])$, si el operador $(\Lambda f)(x)=xf(x)$ es compacto.

Question

En el espacio de Banach $\mathcal{C}([0,1])$, si el operador $(\Lambda f)(x)=xf(x)$ es compacto.

Utilizamos la siguiente definición de operador compacto.

Un delimitada lineal operador $\Lambda:X \to Y$ es compacto si, para cada secuencia delimitada $(x_n)_{n\ge1}$ de los puntos en $X$, existe una larga $(x_{n_j})_{j \ge 1}$ tal que $\Lambda x_{n_j}$ converge.

Intuitivamente, creo que no es compacto, pero no puedo encontrar una secuencia como un contraejemplo.

Alguien puede dar un contraejemplo o algunos consejos de la prueba?

Answer 1

Considere la posibilidad de $f_n(x)=x^n$, es limitado en $[0,1]$, $lim_nxf_n(x)=x^{n+1}=0$ si $x<1$ $lim_nxf_n(1)=1$ $lim_nxf_n$ no puede haber una convergencia de larga.

Answer 2

Trate de dejar que cada una de las $x_n$ ser una protuberancia de la función de la norma $1$ apoyado en $[1-\frac{1}{n},1-\frac{1}{n+1}]$.

Answer 3

Diferentes ind de argumento:

El espectro de un operador compacto se compone sólo de valores propios a excepción de $0$, pero $\Lambda$ ha espectro de $[0,1]$ (debido a $(\Lambda-\lambda) f(\lambda)=0$ para todos los $f\in C([0,1])$, $\lambda\in [0,1]$) y ninguno de los valores espectrales es un autovalor (debido a $(\Lambda-\lambda)f=0$ implica $f(x)=0$$x\neq \lambda$, por lo tanto $f=0$ por continuidad).