Confusiones acerca de Covariante y Contravariante de vectores

Question

Estoy tratando de conectar los conceptos que he aprendido de la relatividad especial, a las de la relatividad general. Echa un vistazo a este ejemplo de la wikipedia. Encontrar una matriz de transformación de la contravariante componentes de un vector, a la covariante componentes.

Ahora vamos a pasar a la relatividad general. Sé que en el espacio plano, el tensor métrico es sólo la métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$, y sé que para cambiar un vector a un covector, simplemente contrato de la métrica con el vector.

Pero si yo fuera a tomar un vector $V^{\mu}$ y el más bajo es el índice a un covector $V_{\mu}$ en espacio plano, ciertamente no sería la complicada matriz de cambio de base se muestra en el ejemplo. Me estoy perdiendo algo aquí? Cuando usted se baja un índice, se encuentran completamente distinta a la entidad? O usted encontrar la covariante de los componentes de la misma vector?

Espero que esto tiene sentido.

Answer 1

Usted está tratando con diferentes objetos geométricos: los vectores de Tangentes, que puede ser realizado como clases de equivalencia de curvas, y la cotangente vectores, que puede ser realizado como clases de equivalencia de funciones con valores de (creo diferenciales).

Hay una natural lineal operación de emparejamiento entre estos objetos: Componer una curva y una función, y obtener un mapa $\mathbb R\to\mathbb R$. La tome de la derivada en el punto en cuestión, et voilà. Esta operación de emparejamiento nos permite considerar los espacios como 'doble', y, en particular, identificar la cotangente del espacio con el espacio de funcionales lineales en el espacio de la tangente.

Dado un sistema de coordenadas en un colector, el coordinar las líneas son curvas, dando una base del espacio de la tangente, mientras que los componentes de las coordenadas del gráfico son las funciones, dando una base del espacio cotangente. Es fácil mostrar que estas bases son algebraicamente dual, es decir, de su vinculación de los rendimientos de la delta de Kronecker.

En la (pseudo-)de Riemann colectores, hay, además, un tensor métrico $g$, un no-degenerada forma bilineal. Este tensor induce un isomorfismo $g^\flat:v\mapsto g(v,\cdot)$ a partir de la tangente a la cotangente del espacio ("reducir el índice'), con una relación inversa mapa de $g^\sharp$ ('elevar el índice').

El mapa de $g^\sharp$ puede ser utilizado para tirar de la espalda de nuestro base de la cotangente del espacio en el espacio de la tangente, dando lugar a la base de la reciprocidad. Los componentes de un vector $v$ en relación a la base de la reciprocidad, del espacio de la tangente son los mismos que los componentes de la covector $g^\flat v$ en relación a la base dual de la cotangente del espacio. Esto hace que sea posible para confundir a los vectores y covectors, pero que se considera principalmente una mala idea hoy en día.

Habiendo dicho todo eso, ahora a tu pregunta:

Pero si yo fuera a tomar un vector $V^{\mu}$ y el más bajo es el índice a un covector $V_{\mu}$ en espacio plano, ciertamente no sería la complicada matriz de cambio de base se muestra en el ejemplo. Me estoy perdiendo algo aquí?

La métrica de Minkowski es que "complicada matriz de cambio de base" - es que usted está tratando con un ortonormales, lo que hace que sea sencillo.

Answer 2

Cuando usted se baja un índice, se encuentran completamente distinta a la entidad?

Sí, es una entidad diferente. $V^\mu$ son los componentes del vector de $\vec{V}$ mientras $V_\mu$ son los componentes de la forma a - $\tilde{V}$ dual a $\vec{V}$ con la relación fundamental

$$\langle\tilde{V}, \vec{V}\rangle = V_\mu V^\mu = g_{\mu \nu}V^\nu V^\mu= V^2$$

En resumen $\vec{V}$ $\tilde{V}$ no son la misma entidad, ya que pertenecen a diferentes espacios vectoriales, pero que están relacionados a través de la métrica.

Actualización: Para destacar que los vectores y las formas son diferentes de los objetos geométricos, considere la siguiente imagen y el título de un artículo de Wikipedia "de Una forma"

Lineal funcionales (1-formas) $\mathrm{α, β}$ y su suma $\mathrm{σ}$ y vectores $\mathbf{u, v, w}$, en 3d en el espacio Euclidiano. El número de (1) hyperplanes atravesado por un vector es igual a la interior del producto.

Answer 3

No me gustaría ver de la manera que @Alfred Centauri ha descrito. Lo que podría ser yo la incomprensión de la respuesta/ no entender el significado matemático de las diferentes entidades que aquí a la derecha, pero voy a volver a ella después de mi opinión sobre el tema.

Hay una física vectorial $\mathbf{V}$ y uno puede expresar este vector en el respeto a los co - o contravariante de base: $$\mathbf{V}=V_\mu\mathbf{e^µ}=V^\mu\mathbf{e_µ}.$$

$\{ \mathbf{e_µ} \}$ $\{ \mathbf{e^µ} \}$ son apenas diferentes de base, los cuales están relacionados por $\mathbf{e_µ}\mathbf{e^\nu}=\delta_\mu^{~~\nu}$. La base de la reciprocidad no es independiente de $\{ \mathbf{e_µ} \}$, ni son el resultado de los componentes: como están relacionados por $V_\mu=g_{\mu\nu}V^\nu$. Permítanme citar la página de la wikipedia que el OP vinculado en ese punto:

En un espacio vectorial $V$ sobre un campo $K$, con una forma bilineal $g : V × V → K$ (que puede ser denominado como el tensor métrico), no es poco distinción entre covariante y contravariante de vectores, debido a que el bilineal formulario permite covectors a ser identificados con los vectores. Es decir, un vector $v$ únicamente determina un covector $\alpha$ a través de $$\alpha (w)=g(v,w)$$ para todos los vectores de w. Por el contrario, cada covector $\alpha$ determina un único vector de $v$ por esta ecuación. Debido a esta identificación de vectores con covectors, se puede hablar de la covariante componentes o contravariante componentes de un vector, es decir, son sólo representaciones de la misma vector mediante recíproco de las bases.

Estoy de acuerdo con @Alfred Centauri que co - y contravariante de los vectores y de los componentes no son los mismos, pero no estoy seguro acerca de cómo llamar a diferentes entidades. Este puede ser mi error, porque yo realmente no sabía qué hacer con "entidades" en un contexto matemático, pero para mí suena a grande la diferencia entre los dos tan estrechamente relacionados con los objetos.

EDIT: después de algunas observaciones hechas por @knzhou en los comentarios, y después de algunas lecturas adicionales en un moderno libro de texto (Wald) en GR (que difiere un poco de la "vieja escuela" GR notas de la conferencia me enseñaron GR).

Creo que el moderno punto de vista es (como @Alfred Centauri señalado) realmente para distinguir entre los vectores (contravariante) y los vectores duales (la cotangente, la covariante). La ecuación y los puntos que anteriormente no distinguen entre los vectores y vectores duales y elegí un (arbitrarias/ métrica) para hacer mi punto. La cita que me hizo describe, en realidad, la "íntima" relación entre ambos objetos, pero en lo fundamental y base/métricas de nivel independientes son matemáticamente y geométricamente diferentes. Hay una relación entre ellos, pero son diferentes de los objetos/entidades diferentes.

Pero si uno introduce una base/métrica se puede usar para

... establecer una correspondencia uno a uno entre los vectores y de doble los vectores. En efecto, dada una métrica $g$ podríamos utilizar esta correspondencia totalmente de eludir la necesidad de la introducción de los vectores duales. Normalmente esto se hace y explica por qué el concepto de vectores duales no es más familiar para la mayoría de los físicos. Sin embargo, en general la relatividad nos será de problemas para la métrica del espacio-tiempo; desde la métrica no es conocido desde el principio, es esencial que se mantenga la distinción entre los vectores y vectores duales completamente claro. [R. M. Wald, 1984, la Relatividad General, pág. 23]