Es $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{5})$?

Question

Entiendo que $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{5})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$

Pero estoy luchando para algebraicamente muestran que $\sqrt{2}$,$\sqrt[3]{5}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{5})$ a la conclusión de que la $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{5})$

Answer 1

Deje $u = \sqrt{2} + \sqrt[3]{5}$, tenemos

$$\begin{align} (u - \sqrt{2})^3 = 5 \iff & u^3 - 3\sqrt{2}u^2 + 6u - 2\sqrt{2} = 5\\ \implies & \begin{cases} \sqrt{2} &= \frac{u^3 + 6u - 5}{3u^2 + 2} \in \mathbb{Q}(u)\\ \sqrt[3]{5} &= u - \sqrt{2} \in \mathbb{Q}(u) \end{casos} \end{align} $$ Como resultado, $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5}) \subset \mathbb{Q}(u)$. La otra dirección es trivial debido a que

$$\sqrt{2}, \sqrt[3]{5} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5}) \implica u = \sqrt{2} + \sqrt[3]{5} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5}) \implica \mathbb{Q}(u) \subconjunto \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$$

Answer 2

Deje $x=\sqrt2+\sqrt[3]5$ por la simplicidad. De forma manual la expansión de la conseguimos

\begin{array}{rrrrrrr} 1 = & 1 \\ x = & & 1\cdot 2^{1/2} & + 1\cdot 5^{1/3} \\ x^2 = & 2 & & & + 2\cdot 2^{1/2}5^{1/3} & +1\cdot 5^{2/3} \\ x^3 = & 5 & + 2\cdot 2^{1/2} & + 6\cdot 5^{1/3} & & & +3\cdot2^{1/2}5^{2/3} \\ x^4 = & 4 & + 20\cdot 2^{1/2} & + 5\cdot 5^{1/3} & + 8\cdot2^{1/2}5^{1/3} & +12\cdot5^{2/3} \\ x^5 = & 100 & + 4\cdot 2^{1/2} & + 20\cdot 5^{1/3} & + 25\cdot2^{1/2}5^{1/3} & +5\cdot5^{2/3} & +20\cdot 2^{1/2}5^{1/3} \\ \end{array}

Queremos resolver $\sqrt2 = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4 + fx^5$, y esto puede escribirse como la ecuación de matriz:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & 6 & 0 & 0 & 3 \\ 4 & 20 & 5 & 8 & 12 & 0 \\ 100 & 4 & 20 & 25 & 5 & 20 \end{bmatrix}^{\mathrm T} \begin{bmatrix}a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, $$

a partir de la cual podemos encontrar que

$$ -1820 + 735x - 780x^2 - 320x^3 + 45x^4 + 48x^5 = 1187 \sqrt2. $$

$\sqrt[3]5$ es sencillamente $x-\sqrt2$.

Answer 3

Deje $K = \Bbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$ y observar que $N_{K/\Bbb{Q}}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}) = 17$. A continuación, el siguiente resultado general implica que $\sqrt{2}+\sqrt[3]{5} \in \mathcal{O}_K$ genera $K$$\Bbb{Q}$.

La proposición: Vamos a $K$ ser una expresión algebraica campo del número y $\alpha \in \mathcal{O}_K$. Si $N_{K/\Bbb{Q}}(\alpha)$ no es un poder perfecto, a continuación, $\alpha$ genera $K$$\Bbb{Q}$.

Prueba: La norma $N_{K/\Bbb{Q}}(\alpha)$ es el término constante del polinomio característico $\chi_{K/\Bbb{Q}}(\alpha)\in \Bbb{Z}[X]$, la cual puede ser demostrado para ser una potencia del polinomio mínimo de a $\alpha$.

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Nota 1:Se puede calcular el $N_{K/\Bbb{Q}}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{5})$ como $$ \prod_{i = 0}^2 (\sqrt{2}+\zeta_3^i\sqrt[3]{5})(-\sqrt{2}+\zeta_3^i\sqrt[3]{5}) \quad \text{o} \quad \det(R_{\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}}) $$ donde $\zeta_3$ es una primitiva de la tercera raíz de la unidad y de la $R_{\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}}$ es la matriz $(r_{ij})$ con $$ m_i \cdot (\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}) = \sum_j r_{ij} m_j $$ para cada elemento $m_i,m_j$ $\Bbb{Z}$- base de $\mathcal{O}_K$ (por ejemplo,$\{1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{5}, (\sqrt[3]{5})^2, \sqrt{2}\sqrt[3]{5}, \sqrt{2}(\sqrt[3]{5})^2\}$).

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Nota 2: La característica (por lo tanto, como hemos visto, mínimo) polinomio de $\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}$ es (por definición) el polinomio característico de la matriz $R_{\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}}$, es decir,$f(X)=\det(XI - R_{\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}})$.

Answer 4

Me temo que no puedo pensar en cualquiera de los otros métodos de fuerza bruta. Si establecemos $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt[3]{5}$, entonces todos los poderes de $\alpha$ encuentran en el lapso de más de $\Bbb Q$ del conjunto de $\{1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{5}, \sqrt[3]{25}, \sqrt{2}\sqrt[3]{5}, \sqrt{2}\sqrt[3]{25}\}.$ Lo que esencialmente necesita mostrar es que el conjunto se extendió por los poderes de la $\alpha$, a continuación, contiene $6$ linealmente independiente de los elementos de este período.

Empiezo por el cálculo de $\alpha^2 = 2 + \sqrt[3]{25} + 2\sqrt{2}\sqrt[3]{5}$. Usted podría calcular $\alpha^3, \alpha^4, \alpha^5$ del mismo modo, y comprobar mediante la reducción de la fila que el conjunto es linealmente independiente.

Si estás haciendo los cálculos a mano, puede ser un poco más fácil, para calcular el $\alpha(\alpha^2-2) = (\sqrt{2} + \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{25} + 2\sqrt{2}\sqrt[3]{5}) = 5 + 4\sqrt[3]{5} + 3\sqrt{2}\sqrt[3]{25}$, y, a continuación, del mismo modo compute $\alpha(\alpha(\alpha^2-2)-5)$, y así sucesivamente.

Answer 5

$\newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}}$

Tal vez sea injusto para el uso de álgebra computacional en eso, pero con las tres ecuaciones $x^2 - 2 = 0$, $y^3 - 5 = 0$ y $t-(x+y) = 0$ y Maple eliminar la función para la eliminación de $x,y$ a partir de estas tres ecuaciones que obtengo:

$$[ \left\{ x={\frac {{t}^{3}+6\,t-5}{3\,{t}^{2}+2}},y=-{\frac {-5-2\,{t }^{3}+4\,t}{3\,{t}^{2}+2}} \right\} , \left\{ {t}^{6}+12\,{t}^{2}-6\,{ t}^{4}+17-10\,{t}^{3}-60\t \right\} ] $$

Con el 'factor' una 'prueba' de que el polinomio $f(t)$ a la derecha es irreductible, y por lo tanto el polinomio mínimo de a $\sqrt{2} + 5^{1/3}$. Esto garantiza el bien definedness de las expresiones de la izquierda. Con un mcd de cálculo se podría invertir $3 t^2 + 2$ modulo $f(t)$ y expresar $x,y$ exponencialmente en $t$.

Tenga en cuenta también que $\QQ(\sqrt{2})$ $\QQ(5^{1/3})$ es lineal discontinuo de más de $\QQ$ y, por tanto,$\dim_\QQ \QQ(\sqrt{2},5^{1/3}) = 6$. Como nuestro polinomio mínimo de a $t = \sqrt{2} + 5^{1/3}$ es de grado $6$ tenemos otra prueba de la igualdad de ambos campos sin expresar $x$$y$$t$.