Cada clase de residuo $\pmod{2^a}$ puede ser escrito como $\pm 5^r$ algunos $r$

Question

Así que la pregunta es para mostrar que todos los residuos de la clase $\pmod{2^a}$ puede ser escrito como $\pm 5^r$ algunos $r$.

La sugerencia es que primero muestran que:

Para $a \ge 3$, e $H$ el multiplicativo subgrupo de $(Z/2^aZ)^*$ generado por $5\pmod{2^a}$ muestran que $-1 \notin H$

Esta es una tarea de la pregunta, así que no estoy en busca de una respuesta... pero en este momento yo no sé ni cómo empezar a mostrar esto. Realmente me estaba esperando para ningún grupo de teoría en este curso..

Answer 1

Lukas ha mostrado cómo mostrar que $-1$ no está en el grupo cíclico generado por $5$. A continuación, puede ver que los grupos de $-\langle 5\rangle$ $\langle 5\rangle$ formulario distinto cosets.

El grupo de unidades del modulo $2^a$ orden $\phi(2^a) = 2^{a-1}$. Ahora la parte difícil es mostrar que el orden de las $5$ modulo $2^a$$2^{a-2}$, de modo que los dos cosets forman una partición actual.

Answer 2

Sugerencia: Deje $v_2(n)$ el valor del exponente de $2$$n$.

Si $4 | x-y$,$v_2(x-y) = v_2(n) + v_2(x-y)$. (Para una prueba a ver http://www.artofproblemsolving.com/Resources/Papers/LTE.pdf )

Así que vamos a $x$ denotar el orden de $5$ modulo $2^a$. Desde $x \mid 2^a$, debemos tener $x = 2^k$. Ahora, usando el teorema de , $a= v_2(5 ^{2^k} - 1) = v_2(2^2) + v_2(2^k) = k+2 $.Por lo $k = a-2$ i.e orden de $5$ modulo $2^a$$2^{a-2}$. (Que posiblemente puede demostrar mediante la inducción.)

Ahora $5^r + 1 \equiv 2 \mod 4$, por lo que para $a \ge 2$,de hecho,$-1 \not\in \left(\mathbb{Z}/2^a\mathbb{Z}\right)^{\times}$.

Ahora no es difícil concluir.

Answer 3

Como un primer paso para la sugerencia: $5\equiv 1 \pmod 4$, lo $5^r \equiv 1 \pmod 4$ todos los $r \in \mathbb{Z}$. Y $1\not\equiv -1 \pmod 4$. Ahora si $5^r \equiv -1 \pmod {2^a}$$a\ge 2$, luego esta la congruencia también tendría que ser cierto modulo $4$.