¿Cuál es el tipo de homotopía de espacio afín en la topología de Zariski..?

Question

Estoy haciendo esta pregunta por curiosidad, ya que yo era incapaz de llegar a una conclusión.

Considerar el espacio afín a través de una algebraicamente cerrado de campo, para la concreción podemos trabajar con $\mathbb{C}^{n}$. Vamos a limitarnos a la cerrada puntos, es decir,. estamos trabajando con el espectro de la máxima ideales. ¿Cuál es la homotopy tipo de este espacio..?

Yo sería feliz con solo saber el débil homotopy tipo, y tengo la sospecha de que $\mathbb{C}^{n}$ podría ser débilmente contráctiles, pero yo era incapaz de demostrarlo. Dado que la topología de Zariski $\mathbb{C}^{n}$ es estrictamente más débil que el habitual, por supuesto, es fácil construir homotopies entre los mapas de $S^{n} \rightarrow \mathbb{C}^{n}$, como todos los homotopies en la topología usual de trabajo. Sin embargo, el problema radica en el hecho de que, en principio, no podría ser simplemente mucho más continuo de los mapas de la esfera.

También se podría tratar de considerar el "radial contracción" mapa de $r: \mathbb{C}^{n} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{n}$ $r(v, t) = tv$ que es también continua en la topología de Zariski y, a continuación, restringir que a $\mathbb{C}^{n} \times [0, 1]$ a probar contractibilidad directamente. Sin embargo, la topología de Zariski en el producto que es más fuerte que el producto de la topología, por lo que no funciona.

Edit: he considerado el caso de $\mathbb{C}$ y parece ser que es, de hecho, contráctiles, pero tal vez me estoy perdiendo algo que es obvio. Estamos buscando un mapa de $H: \mathbb{C}^{1} \times I \rightarrow \mathbb{C}^{1}$ que restringe a la identidad en $\mathbb{C}^{1} \times \{ 1 \}$ y a la constante mapa en $\mathbb{C}^{1} \times \{ 0 \}$. Tenga en cuenta que basta con que el preimages de los puntos están cerrados, ya que los conjuntos cerrados en $\mathbb{C}^{1}$ son finitos o todo el espacio. Elegir un bijection $\phi: \mathbb{C}^{1} \times (0, 1) \simeq \mathbb{C}^{1}$ y poner $H(z, t) = \phi(z, t)$$t \in (0, 1)$. A continuación, la preimagen de cada en $\mathbb{C}^{1}$ bajo $H$ es algún subconjunto cerrado de $\mathbb{C}^{1} \times \{ 0, 1 \}$ más un solo punto, así que está cerrado.

Answer 1

Aquí es una prueba de que para cada $n\ge 2$, el espacio afín ${\mathbb C}^n$ (con la topología de Zariski) es contráctiles. (Puesto que usted ya sabe cómo hacerlo para $n=1$, estoy tratando sólo el caso de $n\ge 2$.) Lamentablemente, esta prueba no revela nada interesante en álgebra/geometría algebraica. La misma prueba funciona para cualquier variedad, más de ${\mathbb C}$.

Deje $\Delta_R$ denotar el disco abierto de radio $R$${\mathbb C}$, centrada en $0$.

Voy a necesitar:

Lema. Para cada $m\ge 1$ existe un holomorphic función de $F: \Delta_1\to {\mathbb C}^{m}$ cuya gráfica $\Gamma=\Gamma_F$ satisface la propiedad de que para cada apropiado afín subvariedad $V\subset {\mathbb C}^{m+1}$, la intersección $V\cap \Gamma$ es finito.

Prueba. Deje $f_1,...,f_m: \Delta_2\to {\mathbb C}$ ser algebraicamente independiente holomorphic funciones. Deje $F$ denotar la restricción de la función de $f=(f_1,...,f_m)$ para el disco de $\Delta_1$. La gráfica de $F$ satisface la propiedad requerida. De hecho, algebraica de la independencia de las funciones de $f_1,...,f_n$ implica que la intersección $V\cap \Gamma_f$ tiene que ser cero-dimensional. Pero esta intersección es una analítica subvariedad; por lo tanto, su intersección con el tubo de $\overline{\Delta_1} \times {\mathbb C}^n$ es finito. qed

Ahora, considere el siguiente mapa de $H: {\mathbb C}^n\times {\mathbb C}\to {\mathbb C}^n$:

1. $H(z_1,...,z_n,1)=(z_1,...,z_n)$.

2. $H(z_1,...,z_n, 0)=(0,...,0)$.

3. Considerar el subconjunto $E\subset {\mathbb C}^{n+1}$ consta de tuplas $(z_1,...,z_n,w)$ tal que $w\notin \{0, 1\}$. Dado que el gráfico de $\Gamma$ como anteriormente se ha cardinalidad del continuo, existe un bijection $H|_E: E\to \Gamma\subset {\mathbb C}^n$.

Yo afirmación de que la función de $H$ así obtenida sea continua en la topología de Zariski (en el dominio y el rango). Deje $V\subset {\mathbb C}^n$ ser un Zariski subconjunto cerrado (un afín subvariedad). Supongamos primero que $V$ no contiene $0\in {\mathbb C}^n$. Desde la intersección $V\cap \Gamma$ es finito (y $H$ restringido para el complemento de ${\mathbb C}^n \times 0$ es el mapa de identidad), $H^{-1}(V)$ es la unión de un conjunto finito y $V\times 0$. Tal conjunto es claramente Zariski densa. El caso de al $V$ contiene $0$ es similar, sólo tienes que agregar la subvariedad ${\mathbb C}^n \times 0$ arriba, a la inversa de la imagen. Por lo tanto, $H$ es continua. qed