La forma más sencilla de definir una función es, precisamente, a través de coordenadas, y $RP^2$ tiene un muy cómodo sistema de coordenadas, se llama homogéneo. La identificación de un punto de $\ell$$RP^2$, con una línea de $\{v:v\in \ell\}$$\mathbb R^3$, tomar algunos de $v=(v_1,v_2,v_3)\in \ell$. A continuación, $[v_1:v_2:v_3]$ son las coordenadas de $\ell$ como un punto en el plano proyectivo, único hasta la multiplicación por una constante distinto de cero.
El círculo unidad en $RP^2$ es, naturalmente, identificado con las líneas en $\mathbb{R}^3$ acostado en la $xy$-plano, es decir, los$[v_1:v_2:v_3]$$v_3=0$. Así que queremos un mapa continuo de $RP^2\setminus \{*\}$ a puntos con cero tercera coordenada. Si enviamos $[v_1:v_2:v_3]$$[v_1:v_2:0]$, ciertamente tenemos un mapa continuo, con un problema: si $v_1=v_2=0,$, a continuación, que hemos enviado a nuestro punto de a $[0:0:0]$, que no están las coordenadas de cualquier punto de $RP^2$. Es por eso que tenemos que descartar un solo punto, es decir,$[0:0:1]$.
En otros lugares de nuestro mapa está bien definido (como usted debe comprobar) y no es difícil ver que es homotópica a la identidad: el homotopy es $H_t([v_1:v_2:v_3])=[v_1:v_2:tv_3]$, que de manera constante se inclina una línea hacia abajo en el $xy$-plano. Por otro lado, nuestra mapa es la identidad cuando restringida al círculo en $RP^2$, por lo que tenemos una deformación retractarse y, en particular, un homotopy equivalencia como se desee.
