Demostración "instructiva" de "Si I es máximo entre los ideales no ..., entonces I es primo"

Question

En esta pregunta todos los anillos son conmutativos con identidad.

Considere la siguiente afirmación conocida:

(*) Deja que $R$ sea un anillo y $S$ un subconjunto cerrado multiplicativo de $R$ . Supongamos que $I$ es un ideal de $R$ máxima entre los que no cumplen $S$ . Entonces $I$ es primo.

Hay dos pruebas fáciles de esto:

(1) El método directo, es decir, una demostración del tipo "Supongamos que todo ideal que contenga adecuadamente $I$ se encuentra con $S$ . Sea $ab \in I$ . Supongamos que $a, b \notin I$ . Entonces $(I, a)$ se encuentra con $S$ es decir $s = x + at$ para algunos $s \in S$ , $x \in I$ , $t \in R$ . Del mismo modo, $s' = y + bt'$ . Entonces $ss' = (x + at)(y + bt') = xy + xbt' + yat + abtt' \in S \cap I$ De ahí que me reúna con $S$ .

(2) Construir el anillo $S^{-1}R$ y establecer la descripción de todos los ideales de $R$ . El resultado se desprende del hecho de que $R/I \rightarrow S^{-1}R/S^{-1}I$ es una inyección.

La prueba (2) me parece mucho más atractiva, porque es (a) mucho más informativa, y (b) más fácil de recordar [aunque en este caso inventar una nueva prueba es bastante fácil].

Ahora vamos al "meollo" de mi pregunta: me parece que hay muchas más afirmaciones similares a (*), es decir, que siguen este patrón:

(**) Deja que $I$ sea un ideal máximo entre los que no satisfacen la propiedad $P$ . Entonces $I$ es primo.

Ejemplos famosos de estas propiedades $P$ son "principales" y "finitamente generados".

¿Existen pruebas de estos hechos (y otros similares) que sean "instructivas", en el sentido de ser similares a la prueba (2) anterior y no a la (1)?

Answer 1

Sí, para algunos puntos de vista generales muy interesantes véase Lam y Reyes: Familias ideales de Oka y Ako en anillos conmutativos, y Anderson; Dobbs; y Zafrullah: Algunas aplicaciones del lema de Zorn en álgebra.