Matemáticas de la inducción ($n^2 \leq n!$) ayuda por favor

Question

Estoy teniendo problemas con las matemáticas de la inducción problema. He estado haciendo otras pruebas (sumatorias de los enteros, etc), pero parece que no puedo conseguir mi cabeza alrededor de este.

Q. Demostrar el uso de la inducción que $n^2 \leq n!$

Así, supongamos que $P(k)$ es cierto: $k^2 \leq k!$

Demostrar que $P(k+1)$ es cierto: $(k+1)^2 \leq (k+1)!$

Sé que $(k+1)! = (k+1)k!$ así: $(k+1)^2 \leq (k+1)k!$, pero ¿a dónde puedo ir desde aquí?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Supongamos $k^{2}\leq k!$. A continuación,$(k+1)!=(k+1)k!\geq (k+1)k^{2}\geq (k+1)^{2}$, siempre que $k\geq 2$.

Answer 2

La declaración de que quieren demostrar es para todos los $n\in\mathbb{N}$ sostiene que $n^2\leq n!$ (se llama esta $P(n)$. Así que vamos a probar, primero, $P(4)$ es decir $4^2\leq 4!$ pero desde $16\leq 24$ esto es claro. Así que vamos a asumir $P(n)$ y demostrar $P(n+1)$.

En primer lugar observamos que para $n\geq 2$ sostiene que $$ 0\leq (n-1)^2+(n-2)=n^2-2n+1+n-2=n^2-n-1 $$ que es equivalente a $n+1\leq n^2$, lo que da

$$ (n+1)^2=(n+1)(n+1)\leq (n+1)n^2 $$

por hipótesis de inducción (es decir,$P(n)$) el plazo $n^2$ en la última expresión es menor o igual a $n!$ por lo que podemos seguir: $$ (n+1)n^2\leq (n+1)n! = (n+1)! $$ cual es la instrucción que queríamos demostrar.

Mi respuesta es muy extensa y explícita. Pero tal vez, ahora podrás conseguir un mejor entendimiento de lo que tiene que hacer, en general, cuando se quiere demostrar algo por inducción.

Answer 3

Una manera de demostrar que esto es para reforzar su hipótesis de inducción ligeramente: suponga $k^2+k\leq k!$ en lugar de $k^2\leq k!$. Usted tiene un caso base para esta partida con $k=4$ donde$k^2+k=20$$k!=24$.

Entonces, queremos mostrar $(k+1)^2+k+1<(k+1)!$. Dividir ambos lados por $k+1$ ver esto es sólo si $k+2<k!$. Pero suponía $k^2+k<k!$$k\geq 4$, por lo que este contiene. A continuación, hemos mostrado que para todos los $n$ que $n^2+n\leq n!$, lo que implica la conclusión.