¿Es una propiedad de los operadores nilpotentes?

Question

Dejemos que $A\in L(V,V)$ sea un operador nilpotente (es decir, un operador lineal tal que para algún $m\in \mathbb N$ la condición $A^m=0$ sostiene) en $n$ -espacio lineal de una dimensión $V$ .

¿Es cierto que $A(\ker A^k)=\ker A^{k-1}$ , donde $k\geq2$ ?

Answer 1

Por supuesto que no; considere $$ A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix} $$ Entonces $A^2=0$ Así que $A(\ker A^3)$ es el espacio de columnas de $A$ que tiene dimensión $1$ , pero por otro lado $\ker A^2$ tiene dimensión $2$ .

Answer 2

No. Toma $A=\left[\begin{array}{cc}0 &1\\0 & 0\end{array}\right]$ y $k=2$ .

$A(\ker A^2)$ es la imagen de $A$ que es el subespacio unidimensional abarcado por $(0,1)$ y $\ker A^1$ es el subespacio unidimensional abarcado por $(1,0)$ .

Answer 3

Uno siempre tiene $A(\ker A^k)\subseteq\ker(A^{k-1})$ siempre que $k>0$ Por un argumento muy simple (que voy a omitir). Pero la inclusión contraria no siempre es válida, ya que el LHS está contenido en la imagen de $A$ pero no hay ninguna razón para que el RHS sea así (a menos que $k=1$ , en cuyo caso el RHS tiene dimensión $~0$ ). En efecto, para cualquier operador nilpotente dado $A$ en $V$ y cualquier $k>1$ se puede ampliar $A$ a $A'$ en $V\oplus W$ con el $A'$ actuando sobre $W$ por el escalar $0$ Entonces $W\not\subseteq A'(V\oplus W)\supseteq A'(\ker((A')^k)$ , mientras que $W\subseteq\ker((A')^{k-1})$ y se deduce que $\ker((A')^{k-1})\not\subseteq A'(\ker((A')^k)$ .