LAS SERIES

Question

Deje $\alpha\ge 0$ control de lo $\alpha$ hace que la serie converge: $$\displaystyle\sum^\infty_{n=2}\dfrac {1}{n^\alpha\log_2(n)}$$

He probado el test de condensación y obtenemos: $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\dfrac {1}{(n+1)2^{\alpha n}}$, pero aquí sería convergen $\alpha\ge 1$, lo que no parece correcto en absoluto (la serie original parece que podría converger para $\alpha>1$, por lo que intentar comparar: $\displaystyle\sum^\infty_{n=2}\dfrac {1}{n^\alpha\log_2(n)}\le \sum^\infty_{n=1}\dfrac {1}{n^\alpha}$ claramente, la serie converge para $\alpha>1$.

Nota: no integrales.

Answer 1

La Prueba de Condensación da $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{2^n}{n\,2^{\alpha n}}=\sum_{n=2}^\infty\frac1{n\,2^{(\alpha-1)n}}\etiqueta{1} $$ que converge por comparación con una serie geométrica para $\alpha\gt1$. Para $\alpha=1$, $(1)$ es la serie armónica, $$ \sum_{n=2}^\infty\frac1n\etiqueta{2} $$ a la que podemos volver a aplicar la Prueba de Condensación para obtener $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{2^n}{2^n}=\sum_{n=2}^\infty1\etiqueta{3} $$ que diverge claramente.

Por lo tanto, el original de la serie converge si y sólo si $\alpha\gt1$.