¿Existe una biyección diferenciable $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f'(x) = f^{-1}(x)$?
Respuesta
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No hay tal biyección existe.
Que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser una biyección diferenciable. Entonces $f$ está aumentando o disminuyendo. Si $f$ va en aumento, entonces $f'(x)\ge0$ % todo $x\in\mathbb{R}$, mientras que si $f$ es decreciente entonces $f'(x)\le0$ % todos $x\in\mathbb{R}$. Si $f'=f^{-1}$ y $f^{-1}(x)\ge0$ o $f^{-1}(x)\le0$ % todo $x\in\mathbb{R}$, contradiciendo el hecho de que $f$, y por lo tanto $f^ {-1}$, es una biyección.
