La paradoja de Skolem nos muestra que me pueda estar atrapada en nuestra visión del mundo

Question

Según de la Paradoja de Skolem, ZFC como una de primer orden axiomatization de la teoría de conjuntos tiene un modelo contable, sino que obedece a una prueba de que innumerables conjuntos existen en cada modelo de ZFC.

Se vuelve contra-intuitivo si aceptamos ZFC como la modelización de nuestra realidad, de un modelo formal de lo que pensamos en un conjunto, sino también la aceptación de Cantor es la prueba de que $\mathbb R$ es incontable.

La paradoja puede resolverse examinando la noción de "uncountability" dentro del sistema de axiomas (y se aplica a un modelo en particular), y externo (una noción que tenemos de innumerables fuera de el sistema axiomático). Esta es la explicación de nlab, a citar:

La resolución de esta aparente paradoja es que, si bien esta conclusión es verdadera internamente, no es cierto externamente: a saber, cualquiera de los dos conjuntos infinitos son contables externamente en ese modelo, por lo tanto hay una $1$–$1$ función entre dos cualesquiera de ellos, incluyendo un modelo de algunos de la multitud innumerable $X$ y de su poder establecer $P(X)$. Sin embargo, la función (o de su gráfica) no está en el modelo! Uno puede agrandar el modelo mediante la adición de la función (y más). Pero este modelo extendido será necesario tener $P(X)$ innumerables externamente y no hay $1$–$1$ la función de $X$ $P(X)$externamente.

Supongamos ahora que ZFC captura lo que pensamos es un conjunto. Ahora los reales parecen perfectamente incalculable para nosotros, y de alguna manera se captura la idea de aproximación sobre el número de línea. Ahora sería posible que otro observador con "más información" se ve en nosotros, en nuestro modelo de ZFC, y para ellos esto sería contables, como son capaces de "externamente" para poner nuestra construcción de la $\mathbb R$ en la correspondencia de nuestra construcción de la $\mathbb N$.

Yo diría que no, simplemente porque no puedo imaginar, simplemente porque creo en la construcción. Pero Skolem dice que no podemos estar seguros acerca de nuestra interpretación de ZFC. Pero ¿qué te parece, podemos estar atrapados en algún modelo de pensamiento? Es esta una situación imaginable, otro observador de ser más inteligente que nosotros, viendo nuestro razonamiento "externa"? Pero esto parece ser una nueva encarnación de Skolem de la paradoja de la derecha de su resolución, con la que nos da algún tipo de límite epistemológico...

Answer 1

Si entiendo correctamente, usted está asumiendo que hay algún tipo de modelo real de conjuntos, que es una recopilación de cosas que intuitivamente entendemos como conjuntos y una intuitiva membresía de la relación entre esas cosas. Estos datos satisfacer los axiomas de ZFC.

Ahora usted dice:

Supongamos ahora que ZFC captura lo que pensamos es un conjunto.

Por que supongo que te refieres a que ZFC es la mejor teoría que debe ser capaz de caracterizar completamente lo que establece son. Si mi interpretación de este enunciado es correcto que usted está equivocado.

Primero que todo, por Rosser del teorema (uno de la generalización de Gödel del teorema de la incompletitud) sabemos que (si son coherentes) ZFC es incompleta, lo que significa que hay fórmulas para los conjuntos que no pueden ser probadas ni negado por ZFC. En particular, cualquier fórmula debe ser verdadera o falsa en el modelo real de conjuntos , pero el problema es que ZFC no permite decir que el caso es la correcta.

Así que ZFC no captar realmente lo que un conjunto es (si por el conjunto de nos referimos a un objeto de esta intuitiva del modelo).

De todos modos es claro que este no es el único problema. Si $(\mathbb S,\in)$ es verdadero modelo de conjuntos podríamos considerar el primer orden de teoría de la $T(\mathbb S)$ de todos los de primer orden fórmulas de cierto en este modelo real.

El teorema de Skolem sería igualmente de aplicación a esta teoría y así podríamos construir dentro de $\mathbb S$ un modelo de $T(\mathbb S)$ que es contable, es decir, este modelo se puede poner en bijection con el conjunto $\mathbb N \in \mathbb S$.

Esto significa que, incluso, $T(\mathbb S)$ no es suficiente para caracterizar el modelo real de conjuntos. Pero eso no debería ser una sorpresa, ya que los dos modelos de $T(\mathbb S)$ pueden ser distinguidos por orden superior propiedades.

De hecho, si tomamos el mayor orden de la teoría de la $T^h(\mathbb S)$ de todas las fórmulas en el orden superior idioma para $\mathbb S$ verdadera en $\mathbb S$, y asumimos que utilizamos de orden superior de la lógica con Taskian de orden superior de la semántica, entonces tenemos una teoría donde no puede ser un modelo contable de $T^h(\mathbb S)$.

Eso es debido al hecho de que por orden superior de la lógica (con Tarskian-semántica) no hay ningún teorema de compacidad, por tanto, no del teorema de Skolem.

Un similar fenómeno puede ser observado para los Axiomas de Peano: PA1(=primer orden axiomas de Peano) está sujeto a la del teorema de Skolem, por lo tanto, hay muchos modelos de estos axiomas de todas las cardinalidades, sin embargo PA2(=segundo orden Axiomas de Peano) tiene un modelo único.

Así que, si he entendido correctamente, sus problemas se debían a un supuesto erróneo, es decir, que ZFC puede capturar todo acerca de los conjuntos.

Supongo que la discusión anterior demostró lo contrario, en caso de cualquier duda o si necesita aclaración por favor, siéntase libre de publicar en los comentarios de abajo.

Answer 2

La "paradoja" en la primera frase no es una paradoja, por lo que no se ha resuelto. Es una falta de comprensión debido a lo resbaladizo de la gramática inglesa. No hay ningún teorema que cada modelo de $M$ $ZFC$ contiene innumerables miembro. Si $M$ es un modelo de $ZFC$ ($\exists x: x $ es incontable$)^M.$ Lo que esto significa es que para algunos $x\in M$ no es $f\in M$ tal que $(f:x\to \Bbb N$ es una función inyectiva$)^M.$ Pero ($x$ es incontable$)^M$ no es necesariamente equivalente a ($x$ es incontable), y si $M$ es contable, entonces ciertamente no lo es.

Answer 3

El multiverso ver de alguna manera se perdió en el camino después de ser mencionado brevemente por Henning Makholm pero es altamente relevante para el OP pregunta. De hecho, la relatividad que implica es aún más extraño de lo que usted describe en su pregunta. Por lo tanto, Edward Nelson demostrado el teorema 1.2 en la página 1167 en

Nelson, Edward Interna de la teoría de conjuntos: un nuevo enfoque para el análisis no estándar. Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 83 (1977), no. 6, 1165-1198.

Nelson del teorema implica que existe un conjunto finito $F$ de manera tal que todos los estándar de los números reales están contenidas en $F$.

Ahora el bebé "modelo" de Hamkins' multiverso puede ser visto como proporcionar precisamente de las secuencias anidadas si los mundos que el OP se imaginaba, cada uno siendo el estándar de objetos de la más grande de tal manera que los axiomas de una teoría de conjuntos (BST) estrechamente relacionados con los de Nelson IST está satisfecho. Esto se discute en más detalle en esta 2017 publicación en el Análisis Real de Intercambio.

Por lo tanto, todos los estándares reales de un subworld en realidad pertenecen no sólo a un contable, pero para un finito establecido en el superworld en este esquema.