Esta es una excelente pregunta, ya que muestra que usted está pensando acerca de la intuitiva aspectos de los teoremas que se aprende. Que te pone por delante de la mayoría de los estudiantes que aprenden de la CLT. Aquí voy a tratar de suministro de usted con una explicación de cómo es posible que la CLT mantener para variables aleatorias con apoyo limitado.
El clásico teorema central del límite se aplica a cualquier secuencia $X_1, X_2, X_3, ... \sim \text{IID Dist}(\mu, \sigma^2)$ consiste independientes e idénticamente distribuidas al azar variables arbitrarias media de $\mu$ y finito distinto de cero de la varianza $0 < \sigma^2 < \infty$. Ahora, supongamos que usted tiene una secuencia, y están delimitadas por $x_{\text{min}} \leqslant X_i \leqslant x_{\text{max}}$, y por lo tanto su apoyo no cubre la totalidad de la línea real.
El teorema del límite central se refiere a la distribución de la media muestral $\bar{X}_n \equiv \tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, y del apoyo limitado sobre el subyacente de las variables aleatorias en la secuencia, esta estadística también debe tener obedecer los límites de $x_{\text{min}} \leqslant \bar{X}_n \leqslant x_{\text{max}}$. Así, la trama se hace más espesa - la media de la muestra que es el tema de que el teorema es también limitada! ¿Cómo puede el CLT si este es el caso?
Teorema del Límite Central (CLT): Dejando $\Phi$ ser el estándar de la distribución normal de la función, tenemos:
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Big( \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leqslant z \Big) = \Phi (z).$$
Aproximación derivadas de CLT: Para un gran $n$ tenemos el aproximado de la distribución:
$$\bar{X}_n \sim \text{N} \Big( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \Big).$$
El problema deriva del hecho de que la distribución de la aproximación que se deriven de este teorema se aproxima a una distribución limitada de apoyo por uno con el infinito apoyo, y por lo tanto, no puede ser correcta. Tienes razón en eso --- la distribución de la aproximación de un gran $n$ es sólo una aproximación, y de hecho mis-especificar la probabilidad de que la media muestral está fuera de sus límites (por dar esta probabilidad positiva).
Sin embargo, la CT no es una declaración acerca de una distribución aproximación finita $n$. Se trata de la limitación de la distribución de la normalizado de la media de la muestra. Los límites de esta cantidad son:
$$z_{\text{min}} = \frac{x_{\text{min}} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leqslant \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leqslant \frac{x_{\text{max}} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = z_{\text{max}}.$$
Ahora, como $n \rightarrow \infty$ tenemos límites de $z_{\text{min}} \rightarrow - \infty$$z_{\text{max}} \rightarrow \infty$, lo que significa que los límites de la normalizado de la media de la muestra se vuelven más y más, y convergen en el límite a toda la recta real. (O, para decirlo un poco más formalmente, para cualquier punto en la recta real, los límites abarcará punto de que para algunos lo suficientemente grande $n$.) Una consecuencia de esto es que la probabilidad atribuida a las partes fuera de los límites por la distribución normal converge a cero, como se $n \rightarrow \infty$.
Aquí llegamos al corazón de la cuestión con respecto a tus dudas acerca de la CLT. Es cierto que para cualquier finito $n$, una aproximación normal a la distribución de la media de la muestra dará probabilidad positiva subconjuntos de valores que están fuera de los límites de la verdad de apoyo. Sin embargo, cuando tomamos el límite de $n \rightarrow \infty$ esta errónea probabilidad positiva converge a cero. La distribución de la aproximación a la normalización de la media de la muestra converge a la verdadera distribución de esta cantidad en el límite, incluso a pesar de que la aproximación no contener exactamente para finitos $n$.
