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El I-ádico de la topología de N coincide con la topología inducida por la I-ádico de M sobre el subespacio N.

Estoy teniendo problemas para entender la prueba de la siguiente proposición.

Deje A ser un Noetherian anillo, M finita A-módulo, NM un submódulo, I un ideal de a A. A continuación, el I-ádico de la topología de N coincide con la topología inducida por la I-ádico de M sobre el subespacio N.

Así que conseguir que el I-ádico la topología en N B1={InN}n=1,2,... y la topología inducida por la I-ádico de la topología de MNB2={InMN}n=1,2,....

Así que supongo que tengo que mostrar, que la toma de B1B1 b1B1 tenemos que encontrar a B2B2 tal que b1B2 B2B1 (y viceversa)?

Ahora la prueba de la proposición de los estados, que se desprende de la Artin-Rees lema desde InNInMNIncN. Ahora veo que esto implicaría que B2B1 (y viceversa), si utilizamos la notación anterior, pero no necesitamos también para mostrar que no existen elementos b1 B2 (y viceversa)? Lo cual significa que necesitamos som elemento decir r1InMN que también está en el InN, y algún elemento r2IncN que también está en el InMN?

También, no estoy seguro de que las inclusiones InNInMNIncN. Supongo que para el último inclusiones se deduce del hecho de que InMN=Inc(IcMN)IncN desde IcMNN, ¿es correcto? Para la primera inclusión yo diría que sigue del hecho de que InNAN=NInNInM?

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codemac Puntos 689

(En este post AB BA significa que A es un subconjunto de a B.)

Deje R ser un anillo conmutativo con uno, I un ideal, M un módulo, N un submódulo, N el conjunto de los barrios de 0 I- ádico de la topología de N, e N el conjunto de los barrios de 0 para la topología en N inducida por la I-ádico de la topología de M.

La inclusión NN se comprueba fácilmente.

Considerar las condiciones

(1) aN, bN (Ib(NIaM)=NIa+bM),

(2) bN, aN (IbNNIa+bM),

(3) NN.

Claramente (1) implica (2).

Reclamo: (2) implica (3).

Prueba: Supongamos XN. A continuación, XIbN algunos b, y obtenemos XIbNNIa+bM  para algunos a, y por lo tanto XN.

1voto

Pedro Tamaroff Puntos 73748

Ver Corolario 10.10 en Atiyah Macdonald. Esto se desprende de la Artin--Rees lema:

Deje I un ideal en un Noetherian anillo de R; deje M ser un finitely generadas R-módulo y deje N un submódulo de M. Entonces existe un entero k, de modo que I^nM\cap N=I^{n-k}((I^kM)\cap N) por cada n\geqslant k.

Uno puede encontrar esta declaración y una prueba de que, por ejemplo, Wikipedia.

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