El $I$-ádico de la topología de $N$ coincide con la topología inducida por la $I$-ádico de $M$ sobre el subespacio $N$.

Question

Estoy teniendo problemas para entender la prueba de la siguiente proposición.

Deje $A$ ser un Noetherian anillo, $M$ finita $A$-módulo, $N\subset M$ un submódulo, $I$ un ideal de a $A$. A continuación, el $I$-ádico de la topología de $N$ coincide con la topología inducida por la $I$-ádico de $M$ sobre el subespacio $N$.

Así que conseguir que el I-ádico la topología en $N$ $\mathcal{B}_1=\{I^nN\}_{n=1,2,...}$ y la topología inducida por la $I$-ádico de la topología de $M$$N$$\mathcal{B}_2=\{I^nM\cap N\}_{n=1,2,...}$.

Así que supongo que tengo que mostrar, que la toma de $B_1\in \mathcal{B}_1$ $b_1\in B_1$ tenemos que encontrar a $B_2\in \mathcal{B}_2$ tal que $b_1\in B_2$ $B_2\subset B_1$ (y viceversa)?

Ahora la prueba de la proposición de los estados, que se desprende de la Artin-Rees lema desde $I^nN\subset I^nM\cap N\subset I^{n-c}N$. Ahora veo que esto implicaría que $B_2\subset B_1$ (y viceversa), si utilizamos la notación anterior, pero no necesitamos también para mostrar que no existen elementos $b_1$ $B_2$ (y viceversa)? Lo cual significa que necesitamos som elemento decir $r_1\in I^nM\cap N$ que también está en el $I^nN$, y algún elemento $r_2\in I^{n-c}N$ que también está en el $I^nM\cap N$?

También, no estoy seguro de que las inclusiones $I^nN\subset I^nM\cap N\subset I^{n-c}N$. Supongo que para el último inclusiones se deduce del hecho de que $I^nM\cap N=I^{n-c}(I^cM\cap N)\subset I^{n-c}N$ desde $I^cM\cap N\subset N$, ¿es correcto? Para la primera inclusión yo diría que sigue del hecho de que $I^nN\subset AN=N$$I^nN\subset I^nM$?

Answer 1

(En este post $A\subset B$ $B\supset A$ significa que $A$ es un subconjunto de a $B$.)

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con uno, $I$ un ideal, $M$ un módulo, $N$ un submódulo, $\mathcal N$ el conjunto de los barrios de $0$ $I$- ádico de la topología de $N$, e $\mathcal N'$ el conjunto de los barrios de $0$ para la topología en $N$ inducida por la $I$-ádico de la topología de $M$.

La inclusión $\mathcal N'\subset\mathcal N$ se comprueba fácilmente.

Considerar las condiciones

$(1)\ \exists a\in\mathbb N,\ \forall b\in\mathbb N\ \Big(I^b(N\cap I^aM)=N\cap I^{a+b}M\Big),$

$(2)\ \forall b\in\mathbb N,\ \exists a\in\mathbb N\ \Big(I^bN\supset N\cap I^{a+b}M\Big),$

$(3)\ \mathcal N\subset\mathcal N'$.

Claramente $(1)$ implica $(2)$.

Reclamo: $(2)$ implica $(3)$.

Prueba: Supongamos $X$$\mathcal N$. A continuación, $X\supset I^bN$ algunos $b$, y obtenemos $$ X\supset I^bN\supset N\cap I^{a+b}M\ $$ para algunos $a$, y por lo tanto $X\in \mathcal N'$.

Answer 2

Ver Corolario 10.10 en Atiyah Macdonald. Esto se desprende de la Artin--Rees lema:

Deje $I$ un ideal en un Noetherian anillo de $R$; deje $M$ ser un finitely generadas $R$-módulo y deje $N$ un submódulo de $M$. Entonces existe un entero $k \geqslant 1$, de modo que $ I^nM\cap N=I^{n-k}((I^kM)\cap N)$ por cada $n\geqslant k$.

Uno puede encontrar esta declaración y una prueba de que, por ejemplo, Wikipedia.