Encontrar la probabilidad de selección de, al menos, uno rojo, uno azul y uno verde de la bola de una urna cuando seis bolas seleccionado

Question

Seis bolas para ser elegido al azar de una urna que contenga $8$ rojo, $10$ verde y 12 bolas de color azul.

¿Cuál es la probabilidad de al menos una bola roja, una azul y una bola verde es elegido?

Espacio muestral = $\binom{30}{6}$

P = 1 - P(rojo + Verde + Azul + rojo y Verde + Rojo y Azul + Verde y Azul )

$$P = \Large 1 - \frac{\binom{8}{6} + \binom{10}{6} + \binom{12}{6} + \binom{18}{6} + \binom{22}{6} + \binom{20}{6}}{\binom{30}{6}}$$

De acuerdo a esto, llegué a $\large 1 - \frac{133099}{593775}$, que es $0.7758$?

Es mi enfoque correcto?

Answer 1

Su enfoque no es el correcto. En 'Sólo el rojo y el verde" no excluir situaciones "Sólo rojo" y "verde". También cada una de las situaciones "Sólo x" es contada dos veces - en situación de "Sólo x e y" y "sólo x y z"

Por lo tanto el número de situaciones en las que hay un color que falta debe ser: $$\left(\binom{8}{6} + \binom{10}{6} + \binom{12}{6} + \binom{18}{6} + \binom{22}{6} + \binom{20}{6}\right)-2\left( \binom{8}{6} + \binom{10}{6} + \binom{12}{6} \right)=$$ $$= \binom{18}{6} + \binom{22}{6} + \binom{20}{6}-\left( \binom{8}{6} + \binom{10}{6} + \binom{12}{6} \right)$$

Answer 2

Deje $E_1$ ser el caso de que ninguna bola roja es elegido, $E_2$ el caso de que ninguna bola verde es elegido, y $E_3$ el caso de que ninguna bola azul es el elegido. La probabilidad de que al menos la bola de cada color que se ha elegido es $1 - P(E_1 \cup E_2 \cup E_3).$ Por la inclusión-exclusión en el principio, $$ P(E_1 \copa E_2 \copa E_3) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) - P(E_1 \cap E_2) - P(E_1 \cap E_3) - P(E_2 \cap E_3) + P(E_1 \cap E_2 \cap E_3). $$ Y podemos ver que $$ P(E_1) = \frac{\binom{22}{6}}{\binom{30}{6}}, \quad P(E_2) = \frac{\binom{20}{6}}{\binom{30}{6}}, \quad P(E_3) = \frac{\binom{18}{6}}{\binom{30}{6}}, \quad P(E_1 \cap E_2) = \frac{\binom{12}{6}}{\binom{30}{6}}, \quad P(E_1 \cap E_3) = \frac{\binom{10}{6}}{\binom{30}{6}}, \quad P(E_2 \cap E_3) = \frac{\binom{8}{6}}{\binom{30}{6}}, \quad P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) = 0. $$